• Questão 4. Considere o campo vetorial \vec{F}=\left(3 y z^{2}+z+1\right) \vec{i}+3 x z^{2} \vec{j}+(6 x y z+x) \vec{k} e a curva C dada por \vec{r}(t)=\exp (t-1) \vec{i}+\left(t^{2}+2 t\right) \vec{j}+t^{4} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.
    (a)(0.5pt) Mostre que \vec{F} é irrotacional.
    (b)(0.5pt) Obtenha o potencial de \vec{F}, isto é, o campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\vec{\nabla} \varphi ou justifique que não existe.
    (c)(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=(3\,y\,z^{2}+z+1)\,\vec{i}+3\,x\,z^{2}\,\vec{j}+(6\,x\,y\,z+x)\,\vec{k}
e a curva paramétrica
\displaystyle \vec{r}(t)=e^{\,t-1}\,\vec{i}+(t^{2}+2\,t)\,\vec{j}+t^{4}\,\vec{k}, 0\le t\le1.
Pede-se:
(a) mostrar que \vec{F} é irrotacional;
(b) encontrar, se existir, um potencial escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi;
(c) calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\vec{F}. Suas componentes são
(\nabla\times\vec{F})_{i} =\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}(6xyz+x)-\frac{\partial}{\partial z}(3xz^{2}) =6xz-6xz=0,
(\nabla\times\vec{F})_{j} =\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}(3yz^{2}+z+1)-\frac{\partial}{\partial x}(6xyz+x) =(6yz+1)-(6yz+1)=0,
(\nabla\times\vec{F})_{k} =\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(3xz^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(3yz^{2}+z+1) =3z^{2}-3z^{2}=0.
Logo \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, ou seja, \vec{F} é irrotacional em todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Como \vec{F} é irrotacional em domínio simplesmente conexo, existe potencial \varphi. Integramos F_{1} em x:
\varphi(x,y,z) =\int (3yz^{2}+z+1)\,dx =x\,(3yz^{2}+z+1)+g(y,z) =3xyz^{2}+xz+x+g(y,z).
Para ajustar g, comparamos \partial\varphi/\partial y com F_{2}=3xz^{2}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =3xz^{2}+\frac{\partial g}{\partial y} \overset{!}{=}3xz^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0 \;\Rightarrow\;g(y,z)=h(z).
Em seguida, comparamos \partial\varphi/\partial z com F_{3}=6xyz+x:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =6xyz+x+h'(z) \overset{!}{=}6xyz+x \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0 \;\Rightarrow\;h(z)=\text{const}.
Portanto, podemos tomar
\boxed{\varphi(x,y,z)=3\,x\,y\,z^{2}+x\,z+x}
(adição de constante é irrelevante).

Passo 4

Usamos o Teorema Fundamental para campos conservativos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Os pontos são
\vec{r}(1)=(1,3,1) e \vec{r}(0)=(e^{-1},0,0).
Calculamos
\varphi(1,3,1)=3\cdot1\cdot3\cdot1^{2}+1\cdot1+1=9+1+1=11,
\varphi(e^{-1},0,0)=3\,e^{-1}\cdot0\cdot0^{2}+e^{-1}\cdot0+e^{-1}=e^{-1}.
Logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=11-e^{-1}.

Resposta

(a) \vec{F} é irrotacional porque \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
(b) Um potencial é \displaystyle \varphi(x,y,z)=3\,x\,y\,z^{2}+x\,z+x.
(c) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=11-e^{-1}.

Exercícios relacionados