- Questão 4. Considere o campo vetorial
e a curva
dada por
.
(a)(0.5pt) Mostre que
é irrotacional.
(b)(0.5pt) Obtenha o potencial de
, isto é, o campo escalar
tal que
ou justifique que não existe.
(c)(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
.
(a)(0.5pt) Mostre que
(b)(0.5pt) Obtenha o potencial de
(c)(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
e a curva paramétrica
,
.
Pede-se:
(a) mostrar que é irrotacional;
(b) encontrar, se existir, um potencial escalar tal que
;
(c) calcular .
e a curva paramétrica
Pede-se:
(a) mostrar que
(b) encontrar, se existir, um potencial escalar
(c) calcular
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Suas componentes são
Logo
, ou seja,
é irrotacional em todo
.
Passo 3
Como
é irrotacional em domínio simplesmente conexo, existe potencial
. Integramos
em
:
Para ajustar
, comparamos
com
:
Em seguida, comparamos
com
:
Portanto, podemos tomar
(adição de constante é irrelevante).
Passo 4
Usamos o Teorema Fundamental para campos conservativos:
Os pontos são
e
.
Calculamos
Calculamos
Logo
Resposta
(a)
é irrotacional porque
.
(b) Um potencial é .
(c)
(b) Um potencial é
(c)