Considere a funçāo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determine o raio e o intervalo de convergencia da séric obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta. \square
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)=\ln\bigl|x\bigr|
e pede:
a) obter uma expansão em série de potências em torno de x=-1;
b) achar o raio e o intervalo de convergência dessa série;
c) usar a série para calcular \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
Vamos usar o fato de que \,f'(x)=1/x, expandir essa derivada em potências de (x+1) por meio da série geométrica e depois integrar termo a termo, determinando a constante de integração em x=-1.
a) \displaystyle f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}.
b) Raio de convergência R=1; intervalo de convergência \bigl[-2,0\bigr).
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.