Considere a funçāo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determine o raio e o intervalo de convergencia da séric obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.
\square

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\ln\bigl|x\bigr|
e pede:
a) obter uma expansão em série de potências em torno de x=-1;
b) achar o raio e o intervalo de convergência dessa série;
c) usar a série para calcular
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
Vamos usar o fato de que
\,f'(x)=1/x, expandir essa derivada em potências de (x+1) por meio da série geométrica e depois integrar termo a termo, determinando a constante de integração em x=-1.

Passo 2

Calculemos
f'(x)=\frac{1}{x} =\frac{1}{(x+1)-1} =-\frac{1}{1-(x+1)}.
Para \lvert x+1\rvert<1 podemos usar a série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n \quad\text{com }u=x+1,
logo
f'(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^n.
Agora integramos termo a termo:
f(x) =\int f'(x)\,\mathrm{d}x =-\sum_{n=0}^{\infty}\int (x+1)^n \,\mathrm{d}x =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C.
Para achar C, note que em x=-1 vale \ln|{-1}|=0 e (x+1)=0, logo
0=f(-1)=-\sum_{n=0}^{\infty}0+C\implies C=0.
Portanto
\boxed{ f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}, }
válido sempre que \lvert x+1\rvert<1.

Passo 3

Da série geométrica usada em f'(x) segue que o raio de convergência é
R=1
e, portanto, a série converge para
-2<x<0.
Nos extremos temos:
  • Em x=-2, x+1=-1 e a série torna-se
    \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}, que é a série alternada de \ln2, logo converge condicionalmente.
  • Em x=0, a série daria \sum1/(n+1), que diverge e não atinge \ln|0|.
    Assim o intervalo de convergência é
\boxed{[-2,\,0)}.

Passo 4

Queremos
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}.
Na série de f(x) tomemos x+1=\tfrac12, ou seja x=-\tfrac12\in(-2,0). Então
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\ln\bigl|\,-\tfrac12\bigr| =\ln\bigl(\tfrac12\bigr) =-\ln2 =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}.
Multiplicando por -1 segue
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}=\ln2,
ou seja
\boxed{S=\ln2.}

Resposta

a) \displaystyle f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}.
b) Raio de convergência R=1; intervalo de convergência \bigl[-2,0\bigr).
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.

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