Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da sequência, começando operatorname{com} n=1.
Em cada parte, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência, uma começando \operatorname{com} n=1 e a outra \operatorname{com} n=0.
r,-r^{2}, r^{3},-r^{4}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
r,\,-r^{2},\,r^{3},\,-r^{4},\ldots
e pede duas fórmulas para o termo geral: uma com índice começando em n=1 e outra com índice começando em n=0. Vamos reconhecer que se trata de uma progressão geométrica.

Passo 2

Numa progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão q. Aqui
\frac{-r^{2}}{r}=-r, \quad \frac{r^{3}}{-r^{2}}=-r,
logo o primeiro termo é r e a razão é q=-r.

Passo 3

Para índice começando em n=1, o termo geral de uma progressão geométrica é
a_{n}=a_{1}\,q^{\,n-1},
onde a_{1}=r e q=-r. Portanto
a_{n}=r\;(-r)^{\,n-1} \;=\;(-1)^{\,n-1}\,r^{\,n}, \quad n\ge1.

Passo 4

Para índice começando em n=0, chamemos o termo geral de b_{n}. Queremos b_{0}=r e a mesma razão q=-r, então
b_{n}=b_{0}\,q^{\,n} =r\;(-r)^{\,n} =\;(-1)^{\,n}\,r^{\,n+1}, \quad n\ge0.

Resposta

Para n\ge1:
a_{n}=(-1)^{\,n-1}\,r^{\,n}.
Para n\ge0:
b_{n}=(-1)^{\,n}\,r^{\,n+1}.

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