Encontre um ponto no gráfico de y=e^{3 x} no qual a reta tangente passa pela origem.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: encontrar um ponto do gráfico da função \;y=e^{3x}\; tal que a reta tangente a esse gráfico naquele ponto passe pela origem (0,0).
  • Informações dadas:
    • A função é \;f(x)=e^{3x}\;.
    • Um ponto genérico do gráfico tem coordenadas \;\big(a,\,f(a)\big)=\big(a,\,e^{3a}\big)\;.
    • A reta tangente em \;x=a\; tem inclinação igual à derivada \;f'(a)\;.

Passo 2

Entender a derivada de \;f(x)=e^{3x}\; (a inclinação da tangente):
  • Lembrete rápido: a derivada \;f'(x)\; representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de \;f\; no ponto de abscissa \;x.
  • Regra prática: se \;f(x)=e^{u(x)}\;, então \;f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}\;. Aqui \;u(x)=3x e \;u'(x)=3.
  • Logo,
f'(x)=3e^{3x}.

Passo 3

Escrever a equação da reta tangente em um ponto genérico \;x=a\;:
  • A forma ponto-inclinação da reta tangente em \;x=a\; é
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
  • Substituindo f(a) e f'(a):
y = e^{3a} + 3e^{3a}\,(x-a).

Passo 4

Impor que essa reta passe pela origem e resolver para \;a\;:
  • Para que a reta passe pela origem, substitui-se \;x=0\; e \;y=0\; na equação da reta:
0 = e^{3a} + 3e^{3a}\,(0-a).
  • Simplificando:
0 = e^{3a}\big(1 - 3a\big).
  • Observação importante: \;e^{3a}>0\; para todo \;a, então podemos dividir por \;e^{3a}\; sem problemas. Isso deixa:
1 - 3a = 0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{3}.

Passo 5

Determinar as coordenadas do ponto e verificar a tangente:
  • A abscissa encontrada é \;a=\dfrac{1}{3}.
  • A ordenada correspondente é
f\!\left(\frac{1}{3}\right)=e^{3\cdot\frac{1}{3}}=e^{1}=e.
  • Portanto o ponto procurado é \;\left(\dfrac{1}{3},\,e\right).
  • Verificação rápida da reta tangente: a inclinação ali é \;f'\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=3e. A equação da reta tangente fica
y = e + 3e\left(x-\frac{1}{3}\right)=3e\,x,
que de fato passa por (0,0). Tudo consistente.

Passo 6

Comentário final e garantia de unicidade:
  • A equação que obtivemos para \;a\; foi linear ( 1-3a=0), portanto tem única solução real \;a=\tfrac{1}{3}. Ou seja, existe exatamente um ponto do gráfico cuja tangente passa pela origem.

Resposta

\left(\dfrac{1}{3},\,e\right)

Exercícios relacionados