Encontre um ponto no gráfico de
no qual a reta tangente passa pela origem.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: encontrar um ponto do gráfico da função
tal que a reta tangente a esse gráfico naquele ponto passe pela origem . - Informações dadas:
- A função é
. - Um ponto genérico do gráfico tem coordenadas
. - A reta tangente em
tem inclinação igual à derivada .
- A função é
Passo 2
Entender a derivada de
(a inclinação da tangente):
- Lembrete rápido: a derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa . - Regra prática: se
, então . Aqui e . - Logo,
Passo 3
Escrever a equação da reta tangente em um ponto genérico
:
- A forma ponto-inclinação da reta tangente em
é
- Substituindo
e :
Passo 4
Impor que essa reta passe pela origem e resolver para
:
- Para que a reta passe pela origem, substitui-se
e na equação da reta:
- Simplificando:
- Observação importante:
para todo , então podemos dividir por sem problemas. Isso deixa:
Passo 5
Determinar as coordenadas do ponto e verificar a tangente:
- A abscissa encontrada é
. - A ordenada correspondente é
- Portanto o ponto procurado é
. - Verificação rápida da reta tangente: a inclinação ali é
. A equação da reta tangente fica
que de fato passa por
. Tudo consistente.
Passo 6
Comentário final e garantia de unicidade:
- A equação que obtivemos para
foi linear ( ), portanto tem única solução real . Ou seja, existe exatamente um ponto do gráfico cuja tangente passa pela origem.