1-2 Em cada parte, encontre os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge calculando o limite da enésima soma parcial. Se a série convergir, obtenha sua soma.
  1. (a) 2+25+25^2+cdots+25^k-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita 2 + 2/5 + 2/5² + ⋯. Esse conteúdo é soma de série geométrica e vamos precisar usar a fórmula da soma parcial de uma progressão geométrica de primeiro termo a = 2 e razão r = 1/5.

Passo 2

Calculamos a primeira soma parcial: S₁ é apenas o primeiro termo, logo S₁ = 2.
Para as próximas somas parciais, somamos termo a termo: S₂ = 2 + 2/5 = 12/5; S₃ = 12/5 + 2/5² = 62/25; S₄ = 62/25 + 2/5³ = 312/125.

Passo 3

Para obter a forma fechada da n-ésima soma parcial usamos a fórmula de soma de PG: Sₙ = a·(1−rⁿ)/(1−r). Substituindo a = 2 e r = 1/5, vem Sₙ = 2·(1−(1/5)ⁿ)/(1−1/5) = (5/2)·(1−5^(−n)).

Passo 4

Para estudar a convergência, calculamos o limite de Sₙ quando n → ∞. Como 5^(−n) → 0, temos limₙ→∞ Sₙ = 5/2. Portanto a série converge e sua soma é 5/2.

Resposta

As quatro primeiras somas parciais são S₁ = 2, S₂ = 12/5, S₃ = 62/25 e S₄ = 312/125. A forma fechada da n-ésima soma parcial é
Sn = 52l(1 - 5^-nr)
Como limntoinfty5^-n = 0, a série converge e sua soma é 5/2.

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