Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
x=5

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de x a matriz
A = 1 & 2[6pt] -tfrac12 & x
é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e diagonalização de matrizes 2times2. Vamos usar que, em dimensão 2, a matriz é diagonalizável exatamente quando ela tem dois autovalores distintos (ou seja, quando o polinômio característico tem raízes simples), pois não há possibilidade de ser múltipla e ainda assim ser proporcional à identidade (os elementos fora da diagonal nunca somem).]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 2[3pt] -tfrac12 & x-lambda = (1-lambda)(x-lambda) - 2l(-tfrac12r)
Expandindo,
(1-lambda)(x-lambda) +1 = (1-lambda)(x-lambda) +1 = lambda^2 - (1+x)lambda + (x+1)
Logo o polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2 - (1+x),lambda + (x+1)
]

Passo 3

Para verificar se as raízes são distintas, computamos o discriminante
De<a = l(1+xr)^2 - 4(x+1) = x^2 +2x +1 -4x -4 = x^2 - 2x - 3
Fatorando,
De<a = (x-3)(x+1)

Passo 4

  • Sobre C: ter duas raízes distintas significa De<aneq0, isto é
xneq3 e xneq -1
  • Sobre R: além de não serem iguais, os autovalores devem ser reais, logo precisamos de De<a>0, isto é
(x-3)(x+1)>0 Longrightarrow x>3ou x< -1
Em qualquer desses casos, os autovalores são reais e distintos, garantindo diagonalização.

Passo 5

Note que nos valores críticos x=3 ou x=-1 temos De<a=0 e autovalor duplo, mas A não seria proporcional à identidade (pois os elementos fora da diagonal não somem), logo a multiplicidade geométrica cai para 1 e a matriz não é diagonalizável nesses pontos.

Resposta

A matriz A é diagonalizável sobre C para todos os xneq3 e xneq -1, e sobre R sempre que
x>3ou x< -1

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