O enunciado pede: para quais valores de x a matriz
A = 1 & 2[6pt] -tfrac12 & x
é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e diagonalização de matrizes 2times2. Vamos usar que, em dimensão 2, a matriz é diagonalizável exatamente quando ela tem dois autovalores distintos (ou seja, quando o polinômio característico tem raízes simples), pois não há possibilidade de ser múltipla e ainda assim ser proporcional à identidade (os elementos fora da diagonal nunca somem).]
Sobre C: ter duas raízes distintas significa De<aneq0, isto é
xneq3 e xneq -1
Sobre R: além de não serem iguais, os autovalores devem ser reais, logo precisamos de De<a>0, isto é
(x-3)(x+1)>0 Longrightarrow x>3ou x< -1
Em qualquer desses casos, os autovalores são reais e distintos, garantindo diagonalização.
Passo 5
Note que nos valores críticos x=3 ou x=-1 temos De<a=0 e autovalor duplo, mas A não seria proporcional à identidade (pois os elementos fora da diagonal não somem), logo a multiplicidade geométrica cai para 1 e a matriz não é diagonalizável nesses pontos.
Resposta
A matriz A é diagonalizável sobre C para todos os xneq3 e xneq -1, e sobre R sempre que