Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
B=[cccc0 & -1 & 1 & -3 1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 3 & -5 -1 & 1 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz B que é uma matriz quadrada 4x4. O conteúdo aqui é determinantes, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver, vamos usar técnicas de expansão por menores e propriedades dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B :
B = 0 & -1 & 1 & -3 1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 3 & -5 -1 & 1 & 0 & 2
Como o cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser complicado, uma boa estratégia é simplificar a matriz usando trocas de linhas para facilitar a expansão.

Passo 3

Vamos trocar a primeira linha pela segunda para que o primeiro elemento seja diferente de zero. Isso ajuda na hora de expandir o determinante.
B' = 1 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -3 2 & 0 & 3 & -5 -1 & 1 & 0 & 2
Lembrete: Trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Então, se o determinante de B' for D , o determinante de B será -D .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a matriz B' . Vamos usar operações de linha para deixar a matriz mais fácil de trabalhar.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1
1 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -3 0 & -4 & 1 & -9 -1 & 1 & 0 & 2
  • Adicionar a primeira linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 1
1 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -3 0 & -4 & 1 & -9 0 & 3 & 1 & 4

Passo 5

Vamos focar na primeira coluna agora que já está simplificada. O determinante pode ser calculado expandindo por cofatores. Como a primeira coluna tem apenas um elemento não zero (1 na primeira linha), vamos expandir por essa coluna.
det(B') = 1 times det( -1 & 1 & -3 -4 & 1 & -9 3 & 1 & 4 )

Passo 6

Agora, precisamos calcular o determinante da matriz 3x3 que ficou:
M = -1 & 1 & -3 -4 & 1 & -9 3 & 1 & 4
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular:
det(M) = -1 times (1 times 4 - (-9) times 1) - 1 times (-4 times 4 - (-9) times 3) -3 times (-4 times 1 - 1 times 3)
det(M) = -1 times (4 + 9) - 1 times (-16 + 27) -3 times (-4 -3)
det(M) = -13 - 11 + 21 = -3

Passo 7

Então, o determinante da matriz B' é:
det(B') = 1 times (-3) = -3
Lembrando que trocamos as linhas no início, o que inverteu o sinal do determinante. Portanto:
det(B) = -det(B') = -(-3) = 3

Resposta

O determinante da matriz B é 3.

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