duas bases para . Encontre a matriz de em relação às bases
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e fornece duas bases no domínio,
e duas no contradomínio,
Para obter a matriz de em bases dadas, basta calcular dos vetores da base de partida e expressar cada imagem na base de chegada: essas coordenadas formam as colunas da matriz.
Passo 2
Matriz de relativa a .
Calculemos as imagens de cada vetor de : , cujas coordenadas em são . , cujas coordenadas em são .
Logo
onde a primeira coluna vem de T(t) e a segunda de T(1).
Passo 3
Matriz de T relativa a S'to L'.
Para p(t)=t+1 temos p(0)=1 e
T(t+1)=t(t+1)+1 = t^2+t+1
Procuramos a,b,c tais que
t^2+t+1 = a(t^2+1) + b(t-1) + c(t+1)
Isso dá o sistema
a=1, b+c=1, 1 - b + c = 1,
cuja solução é a=1, b=c=tfrac12. Assim as coordenadas de T(t+1) em L' são l(1,tfrac12,tfrac12r).
Para p(t)=t-1 temos p(0)=-1 e
T(t-1)=t(t-1)-1 = t^2-t-1
De modo semelhante achamos
t^2-t-1 = a(t^2+1) + b(t-1) + c(t+1)
levando a
a=1, b+c=-1, 1 - b + c = -1,
cuja solução é a=1, b=tfrac12, c=-tfrac32. Então as coordenadas de T(t-1) em L' são l(1,tfrac12,-tfrac32r).