Seja T: P1 P2 definida por T(p(t))=t p(t)+p(0). Sejam
S=t, 1 S^prime=t+1, t-1
duas bases para P1. Sejam
L=t^2, t, 1 L^prime=t^2+1, t-1, t+1
duas bases para P2. Encontre a matriz de T em relação às bases

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P1to P2, Tl(p(t)r)=t,p(t)+p(0),
e fornece duas bases no domínio,
S=t,1, S'=t+1,;t-1,
e duas no contradomínio,
L=t^2,,t,,1, L'=t^2+1,;t-1,;t+1
Para obter a matriz de T em bases dadas, basta calcular T dos vetores da base de partida e expressar cada imagem na base de chegada: essas coordenadas formam as colunas da matriz.

Passo 2

Matriz de T relativa a Sto L.
Calculemos as imagens de cada vetor de S:
T(t)=tcdot t + 0 = t^2, cujas coordenadas em L são (1,0,0).
T(1)=tcdot1 + 1 = t+1, cujas coordenadas em L são (0,1,1).
Logo
[T]S,L = 1 & 0 0 & 1 0 & 1 ,
onde a primeira coluna vem de T(t) e a segunda de T(1).

Passo 3

Matriz de T relativa a S'to L'.
  1. Para p(t)=t+1 temos p(0)=1 e
T(t+1)=t(t+1)+1 = t^2+t+1
Procuramos a,b,c tais que
t^2+t+1 = a(t^2+1) + b(t-1) + c(t+1)
Isso dá o sistema
a=1, b+c=1, 1 - b + c = 1,
cuja solução é a=1, b=c=tfrac12. Assim as coordenadas de T(t+1) em L' são l(1,tfrac12,tfrac12r).
  1. Para p(t)=t-1 temos p(0)=-1 e
T(t-1)=t(t-1)-1 = t^2-t-1
De modo semelhante achamos
t^2-t-1 = a(t^2+1) + b(t-1) + c(t+1)
levando a
a=1, b+c=-1, 1 - b + c = -1,
cuja solução é a=1, b=tfrac12, c=-tfrac32. Então as coordenadas de T(t-1) em L' são l(1,tfrac12,-tfrac32r).
Portanto
[T]S',L' = 1 & 1 tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac32 ,
onde a primeira coluna vem de T(t+1) e a segunda de T(t-1).

Resposta

[T]S,L=1&00&10&1,
[T]S',L'=1&1tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac32

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