Seja T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y+z)
Sejam S a base canônica para R^3 e seja L=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) outra base para R^3. Encontre a matriz de T relativa às bases

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z) = (x+2y+z,;2x-y,;2y+z),
queremos a matriz de T que leva coordenadas na base canônica S=e1,e2,e3 às coordenadas na base
L=v1=(1,0,1),;v2=(0,1,1),;v3=(0,0,1)
Para isso, calculamos T(ei) e expressamos cada resultado como combinação linear de v1,v2,v3.

Passo 2

Começamos por e1=(1,0,0).
T(e1) = T(1,0,0) = (1+2cdot0+0,;2cdot1-0,;2cdot0+0) = (1,2,0)
Procuramos a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (1,2,0)
Como a,v1+b,v2+c,v3 = (a,;b,;a+b+c), igualamos componentes:
a=1, b=2 e a+b+c=0implies1+2+c=0implies c=-3.
Logo, a primeira coluna da matriz (coords de T(e1) em L) é
12-3

Passo 3

Agora e2=(0,1,0).
T(e2) = T(0,1,0) = (0+2cdot1+0,;2cdot0-1,;2cdot1+0) = (2,-1,2)
Queremos a,b,c com
(a,b,a+b+c) = (2,-1,2)
Isso dá a=2, b=-1 e 2+(-1)+c=2implies1+c=2implies c=1.
Assim, a segunda coluna é
2-11

Passo 4

Finalmente e3=(0,0,1).
T(e3) = T(0,0,1) = (0+0+1,;2cdot0-0,;2cdot0+1) = (1,0,1)
Resolvendo
(a,b,a+b+c) = (1,0,1)
vem a=1, b=0 e 1+0+c=1implies c=0.
Logo, a terceira coluna é
100

Passo 5

A matriz de T na base de partida S e chegada L tem colunas formadas pelas coordenadas de T(ei) em L. Portanto,
[T]L,S = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 -3 & 1 & 0

Resposta

[T]L,S = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 -3 & 1 & 0

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