Em cada parte use a informação da tabela para determinar se o sistema linear A x=b é consistente. Se for, dê o número de parâmetros na solução geral.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Tamanho de A 3 times 3 3 times 3 3 times 3 5 times 9 5 times 9 4 times 4 6 times 2
Posto de A 3 2 1 2 3 0 2

Passo 1

Temos sete sistemas lineares cujas matrizes são de dimensões e têm posto conforme a tabela. Queremos decidir se cada sistema é (geralmente) consistente e, quando for, quantos parâmetros livres tem a solução geral.

Passo 2

Para um sistema genérico em com incógnitas e posto vale que:
  1. O sistema é consistente para todo vetor se, e somente se, (posto máximo de linhas), pois assim o espaço coluna de é todo .
  2. Se for consistente, a dimensão do espaço solução (número de parâmetros livres) é

Passo 3

Aplicando a essas regras cada caso (m,n,r):
(a) (m,n,r)=(3,3,3). Aqui r=m, então é consistente para todo b. Parâmetros livres =n-r=3-3=0.
(b) (3,3,2). Como r=2< m=3, o sistema não é consistente para todo b (em geral é inconsistente).
(c) (3,3,1). Como 1<3, não é consistente para um b arbitrário.
(d) (5,9,2). Como 2<5, não é consistente para b genérico.
(e) (5,9,3). Como 3<5, não é consistente para b genérico.
(f) (4,4,0). Como 0<4, em geral é inconsistente (só consistente se b=0).
(g) (6,2,2). Aqui r=2<6, logo não consistente para todo b.

Resposta

(a) consistente, solução única (0 parâmetros livres).
(b) inconsistente (para b arbitrário).
(c) inconsistente.
(d) inconsistente.
(e) inconsistente.
(f) inconsistente (salvo b=0).
(g) inconsistente.

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