Encontre o posto e a nulidade da matriz
(d) A=[rrrrr1 & 4 & 5 & 6 & 9 3 & -2 & 1 & 4 & -1 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 2 & 3 & 5 & 7 & 8]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 4 & 5 & 6 & 9 [6pt] 3 & -2 & 1 & 4 & -1 [6pt] -1 & 0 & -1 & -2 & -1 [6pt] 2 & 3 & 5 & 7 & 8
e pede o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo) de A. Vamos aplicar eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs e depois usar o Teorema da Dimensão:
nulidade(A) = número de colunas - posto(A) ú

Passo 2

Usamos o pivô em (1,1) e zeramos abaixo:
R2 R2 - 3R1, R3 R3 + R1, R4 R4 - 2R1
Isso transforma A em
1 & 4 & 5 & 6 & 9 [4pt] 0 & -14 & -14 & -14 & -28 [4pt] 0 & 4 & 4 & 4 & 8 [4pt] 0 & -5 & -5 & -5 & -10

Passo 3

Agora escolhemos o pivô em (2,2). Dividimos a segunda linha por -14 e zeramos abaixo:
R2 -tfrac114R2 Longrightarrow R2 = (0;1;1;1;2),
R3 R3 - 4R2, R4 R4 + 5R2
Após essas operações, as linhas 3 e 4 ficam nulas, de modo que a forma escalonada é
1 & 4 & 5 & 6 & 9 [4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 2 [4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Contamos os pivôs não nulos nas linhas escalonadas: há exatamente 2 pivôs (em (1,1) e (2,2)). Logo
posto(A) = 2
Como A tem 5 colunas, a nulidade é
nulidade(A) = 5 - 2 = 3

Resposta

O posto de A é 2 e a nulidade de A é 3.

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