Seja
. Mostre que
a) As matrizes
e
são simétricas.
a) As matrizes
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
e pede para mostrar que as matrizes
são simétricas.
Lembrando que uma matriz é simétrica se, e somente se,
Lembrando que uma matriz
Para isso vamos usar as propriedades da transposição:
-
. -
. -
para escalar .
Passo 2
Vamos mostrar que
é simétrica, i.e.
.
Pelo item 1 temos
Pelo item 1 temos
Mas
. Logo
que é exatamente
. Portanto
é simétrica.
Passo 3
Agora considere
. Queremos
.
Pela linearidade da transposição (item 2),
Pela linearidade da transposição (item 2),
Como soma é comutativa,
. Logo
e
é simétrica.
Passo 4
Por fim, tome
. Vamos checar a transposta:
onde usamos o item 3 e o resultado do Passo 3. Assim
e essa matriz também é simétrica.
Resposta
As três matrizes
,
e
são simétricas.