Seja B in Mn(R). Mostre que
a) As matrizes B B^T, B+B^T e 12(B+B^T) são simétricas.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz Bin Mn(R) e pede para mostrar que as matrizes
BB^T, B + B^T, tfrac12l(B + B^Tr)
são simétricas.
Lembrando que uma matriz M é simétrica se, e somente se,
M = M^T
Para isso vamos usar as propriedades da transposição:
  1. ,(AB)^T = B^T A^T.
  2. ,(A + C)^T = A^T + C^T.
  3. ,(cA)^T = c,A^T para escalar cinR.

Passo 2

Vamos mostrar que BB^T é simétrica, i.e. (BB^T)^T = BB^T.
Pelo item 1 temos
(BB^T)^T = (B^T)^T,B^T
Mas (B^T)^T = B. Logo
(BB^T)^T = B,B^T,
que é exatamente BB^T. Portanto BB^T é simétrica.

Passo 3

Agora considere B + B^T. Queremos l(B + B^Tr)^T = B + B^T.
Pela linearidade da transposição (item 2),
l(B + B^Tr)^T = B^T + (B^T)^T = B^T + B
Como soma é comutativa, B^T + B = B + B^T. Logo
l(B + B^Tr)^T = B + B^T,
e B + B^T é simétrica.

Passo 4

Por fim, tome tfrac12l(B + B^Tr). Vamos checar a transposta:
l(tfrac12,(B + B^T)r)^T = tfrac12,(B + B^T)^T = tfrac12,(B + B^T),
onde usamos o item 3 e o resultado do Passo 3. Assim
l(tfrac12,(B + B^T)r)^T = tfrac12,(B + B^T),
e essa matriz também é simétrica.

Resposta

As três matrizes BB^T, B + B^T e tfrac12l(B + B^Tr) são simétricas.

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