Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema linear A x=b é consistente. Se for, dê o número de parâmetros na solução geral.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Tamanho de A 3 times 3 3 times 3 3 times 3 5 times 9 5 times 9 4 times 4 6 times 2
Posto de A 3 2 1 2 2 0 2

Passo 1

O enunciado fornece, para cada letra de (a) a (g), o tamanho de A (ou seja, o número de equações m e de incógnitas n) e o posto de A. Pede-se para decidir se o sistema
A x = b
é consistente (isto é, admite solução para qualquer vetor b em R^m) e, em caso afirmativo, quantos parâmetros livres aparecem na solução geral.

Passo 2

Para um sistema A x=b com A de tamanho mtimes n e posto rho=rank(A), vale:
1. O sistema é consistente para todo binR^m se, e somente se, rho = m.
2. Se for consistente para todo b, o espaço das soluções tem dimensão de parâmetros livres igual a
n - rho

Passo 3

Aplicando a regra a cada caso, usando m = número de linhas de A, n = número de colunas de A e rho = posto de A:
(a) m=3, rho=3. Como rho=m, o sistema é consistente para todo b e o número de parâmetros livres é
n-rho = 3-3 = 0
(b) m=3, rho=2. Aqui rho<m, logo Col(A)subsetneqR^3 e o sistema não é consistente para todo b.
(c) m=3, rho=1. Novamente rho<m, logo não consistente em geral.
(d) m=5, rho=2. Como rho<m, não consistente para todos os b.
(e) m=5, rho=2. Mesma situação: rho<m, não consistente em geral.
(f) m=4, rho=0. Aqui rho<m, então só admite solução se b=0, mas não é consistente para todo b.
(g) m=6, rho=2. Como rho<m, o sistema não é consistente para vetores b arbitrários.

Resposta

(a) Consistente para todo b; parâmetros livres 3-3=0.
(b) Não consistente para todo b.
(c) Não consistente para todo b.
(d) Não consistente para todo b.
(e) Não consistente para todo b.
(f) Não consistente para todo b (só soluciona se b=0).
(g) Não consistente para todo b.

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