Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um subconjunto de que seja uma base do espaço que eles geram e, em seguida, expressar cada vetor que não ficou na base como combinação linear dos que ficaram. O conteúdo envolvido é teste de independência linear via eliminação de Gauss e resolução de sistemas lineares para combinação de vetores.
Passo 2
Organizamos os vetores como colunas de uma matriz e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas pivô.
Após operações elementares (R1 pivot, zeramos abaixo, depois pivot em R2 e em seguida em R3), chegamos à forma escalonada reduzida em que as colunas de pivô são a 1ª, a 2ª e a 4ª. Logo, v1,v2,v4 são independentes e geram o mesmo espaço que os cinco vetores originais.
Passo 3
Para escrever
e obtemos o sistema
Resolvendo, achamos , . Portanto
Passo 4
Para
que leva ao sistema
A solução é , . Logo
Resposta
A base escolhida é v1,v2,v4.
As combinações lineares são: