Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
v1=(1,-1,5,2), v2=(-2,3,1,0), v3=(4,-5,9,4), v4=(0,4,2,-3), v5=(-7,18,2,-8)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um subconjunto de v1,v2,v3,v4,v5subsetR^4 que seja uma base do espaço que eles geram e, em seguida, expressar cada vetor que não ficou na base como combinação linear dos que ficaram. O conteúdo envolvido é teste de independência linear via eliminação de Gauss e resolução de sistemas lineares para combinação de vetores.

Passo 2

Organizamos os vetores como colunas de uma matriz e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas pivô.
A= 1 & -2 & 4 & 0 & -7 -1 & 3 & -5 & 4 & 18 5 & 1 & 9 & 2 & 2 2 & 0 & 4 & -3 & -8
Após operações elementares (R1 pivot, zeramos abaixo, depois pivot em R2 e em seguida em R3), chegamos à forma escalonada reduzida em que as colunas de pivô são a 1ª, a 2ª e a 4ª. Logo, v1,v2,v4 são independentes e geram o mesmo espaço que os cinco vetores originais.

Passo 3

Para escrever
e obtemos o sistema
Resolvendo, achamos , . Portanto

Passo 4

Para
que leva ao sistema
A solução é , . Logo

Resposta

A base escolhida é v1,v2,v4.
As combinações lineares são:
v3 = 2,v1 - v2,
v5 = -,v1 +3,v2 +2,v4

Exercícios relacionados