Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
5. [rrr0 & -3 & 9 2 & 1 & -7 -1 & 4 & -5 1 & -4 & -2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & -3 & 9 2 & 1 & -7 -1 & 4 & -5 1 & -4 & -2
e pede para verificar se as colunas de A formam um conjunto linearmente independente. Vamos usar a definição: as colunas são independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Denotando
c1 = 02-11, c2 = -314-4, c3 = 9-7-5-2,
imponha
a,c1 + b,c2 + c,c3 = 0000
Isso gera o sistema
-3b + 9c = 0, 2a + b - 7c = 0, -,a + 4b - 5c = 0, ;,a - 4b - 2c = 0

Passo 3

Da primeira equação -3b+9c=0 segue
b = 3c
Substituindo em 2a + b - 7c = 0 obtemos
2a + 3c -7c = 0 Longrightarrow 2a = 4c Longrightarrow a = 2c

Passo 4

Agora, em -,a + 4b - 5c = 0, substitua a=2c e b=3c:
-2c + 12c - 5c = 0 Longrightarrow 5c = 0 Longrightarrow c = 0
Logo a=0 e b=0. Como a única solução é a trivial, as colunas são linearmente independentes.

Resposta

As colunas da matriz são linearmente independentes.

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