Em cada parte, use a informação da tabela para encontrar as dimensões do espaço-linha de A, do espaço-coluna de A, do espaço-nulo de A e do espaço-nulo de A^T.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Tamanho de A 3 times 3 3 times 3 3 times 3 5 times 9 9 times 5 4 times 4 6 times 2
Posto de A 3 2 1 2 2 0 2

Passo 1

O enunciado fornece matrizes A de tamanho mtimes n com posto rank(A)=r e pede as dimensões dos quatro subespaços fundamentais de A:
– espaço-linha de A
– espaço-coluna de A
– espaço-nulo de A (kernel de A)
– espaço-nulo de A^T (kernel de A^T)

Passo 2

Pela teoria do posto e nulidade (teorema rank-nullity), valem as fórmulas:
dim(espaço-linha de A)=r, ç
dim(espaço-coluna de A)=r, ç
dim(ker(A))=n-r,
dim(ker(A^T))=m-r

Passo 3

Aplicando essas fórmulas a cada caso da tabela:
(a) m=3, n=3, r=3 Rightarrow dim(linha)=3, dim(coluna)=3, dim(ker(A))=3-3=0, dim(ker(A^T))=3-3=0.
(b) m=3, n=3, r=2 Rightarrow dim(linha)=2, dim(coluna)=2, dim(ker(A))=3-2=1, dim(ker(A^T))=3-2=1.
(c) m=3, n=3, r=1 Rightarrow dim(linha)=1, dim(coluna)=1, dim(ker(A))=3-1=2, dim(ker(A^T))=3-1=2.
(d) m=5, n=9, r=2 Rightarrow dim(linha)=2, dim(coluna)=2, dim(ker(A))=9-2=7, dim(ker(A^T))=5-2=3.
(e) m=9, n=5, r=2 Rightarrow dim(linha)=2, dim(coluna)=2, dim(ker(A))=5-2=3, dim(ker(A^T))=9-2=7.
(f) m=4, n=4, r=0 Rightarrow dim(linha)=0, dim(coluna)=0, dim(ker(A))=4-0=4, dim(ker(A^T))=4-0=4.
(g) m=6, n=2, r=2 Rightarrow dim(linha)=2, dim(coluna)=2, dim(ker(A))=2-2=0, dim(ker(A^T))=6-2=4.

Resposta

(a) espaço-linha: 3, espaço-coluna: 3, espaço-nulo: 0, espaço-nulo de A^T: 0.
(b) espaço-linha: 2, espaço-coluna: 2, espaço-nulo: 1, espaço-nulo de A^T: 1.
(c) espaço-linha: 1, espaço-coluna: 1, espaço-nulo: 2, espaço-nulo de A^T: 2.
(d) espaço-linha: 2, espaço-coluna: 2, espaço-nulo: 7, espaço-nulo de A^T: 3.
(e) espaço-linha: 2, espaço-coluna: 2, espaço-nulo: 3, espaço-nulo de A^T: 7.
(f) espaço-linha: 0, espaço-coluna: 0, espaço-nulo: 4, espaço-nulo de A^T: 4.
(g) espaço-linha: 2, espaço-coluna: 2, espaço-nulo: 0, espaço-nulo de A^T: 4.

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