Em cada parte, use a informação da tabela para encontrar as dimensões do espaço-linha de
, do espaço-coluna de
, do espaço-nulo de
e do espaço-nulo de
.
(a) | (b) | (c) | (d) | (e) | (f) | (g) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Tamanho de
|
|
|
|
|
|
|
|
Posto de
|
3 | 2 | 1 | 2 | 2 | 0 | 2 |
Passo 1
O enunciado fornece matrizes
de tamanho
com posto
e pede as dimensões dos quatro subespaços fundamentais de
:
– espaço-linha de
– espaço-coluna de
– espaço-nulo de (kernel de
)
– espaço-nulo de (kernel de
)
– espaço-linha de
– espaço-coluna de
– espaço-nulo de
– espaço-nulo de
Passo 2
Pela teoria do posto e nulidade (teorema rank-nullity), valem as fórmulas:
Passo 3
Aplicando essas fórmulas a cada caso da tabela:
(a)
,
,
,
,
,
.
(b)
,
,
,
,
,
.
(c)
,
,
,
,
,
.
(d)
,
,
,
,
,
.
(e)
,
,
,
,
,
.
(f)
,
,
,
,
,
.
(g)
,
,
,
,
,
.
Resposta
(a) espaço-linha:
, espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(b) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(c) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(d) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(e) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(f) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(g) espaço-linha: , espaço-coluna:
, espaço-nulo:
, espaço-nulo de
:
.
(b) espaço-linha:
(c) espaço-linha:
(d) espaço-linha:
(e) espaço-linha:
(f) espaço-linha:
(g) espaço-linha: