Determine se b está no espaço-coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores-coluna de A.
(e) A=[llll1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 1 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 2] ; b=[l4 3 5 7]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor coluna b está no espaço-coluna de A. Isso significa checar se existem escalares x1,x2,x3,x4 tais que
x11010 +x22121 +x30212 +x41132 = 4357
Em outras palavras, precisamos resolver o sistema linear Ax=b.

Passo 2

Escrevendo as equações correspondentes a cada linha de Ax=b, obtemos
x1 +2x2 ;+;0cdot x3 ;+;x4 =4, 0cdot x1 +x2 +2x3 +x4 =3, x1 +2x2 +x3 +3x4 =5, 0cdot x1 +x2 +2x3 +2x4 =7

Passo 3

Usamos eliminação por substituição:
Da primeira equação,
x1 =4 -2x2 -x4
Substituindo em 3-a equação:
(4 -2x2 -x4)+2x2 +x3 +3x4 =5 ;Longrightarrow; x3 +2x4 =1 ;Longrightarrow; x3 =1 -2x4
Da segunda equação,
x2 +2x3 +x4=3 ;Longrightarrow; x2 +2(1-2x4)+x4=3 ;Longrightarrow; x2 =1+3x4
Finalmente, na quarta equação:
x2 +2x3 +2x4=7 ;Longrightarrow; (1+3x4)+2(1-2x4)+2x4=7 ;Longrightarrow; 3 +x4 =7 ;Longrightarrow; x4 =4
Logo
x4=4, x3=1-2cdot4=-7, x2=1+3cdot4=13, x1=4-2cdot13-4=-26

Passo 4

Como encontramos solução x=(-26,,13,,-7,,4), concluímos que b está no espaço-coluna de A. A combinação linear é
b =-26,c1 +13,c2 -7,c3 +4,c4,
onde ci são as colunas de A.

Resposta

b pertence ao espaço-coluna de A e
b =-261010 +132121 -70212 +41132

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