Quais condições devem ser satisfeitas por b1, b2, b3, b4 e b5 para o sistema linear sobredeterminado
& x1-3 x2=b1 & x1-2 x2=b2 & x1+x2=b3 & x1-4 x2=b4 & x1+5 x2=b5
ser consistente?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema sobredeterminado com duas incógnitas x1,x2 e cinco equações. O conteúdo é sobre consistência de sistemas lineares: para haver solução, o vetor b=(b1,b2,b3,b4,b5) deve pertencer ao espaço gerado pelas colunas da matriz de coeficientes. Vamos usar eliminação de incógnitas para encontrar as condições de compatibilidade sobre os bi.

Passo 2

Começamos eliminando x1 entre as duas primeiras equações. Subtraindo a segunda da primeira:
(x1-3x2) - (x1-2x2) = b1-b2
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-,x2 = b1-b2 Longrightarrow x2 = b2-b1

Passo 3

Agora imponho que o mesmo x2 satisfaça a quarta equação x1-4x2=b4. Subtraindo essa da primeira:
(x1-3x2) - (x1-4x2) = b1-b4 Longrightarrow x2 = b1-b4
Para coerência com o resultado do passo anterior, deve valer
b2-b1 = b1-b4 Longrightarrow b2+b4 = 2,b1

Passo 4

Por fim, imponho que x2=b2-b1 também satisfaça a terceira e a quinta equações.
Da terceira x1+x2=b3, usando x1=b1+3x2
b1+4x2=b3 Longrightarrow x2 = b3-b14
e assim
b2-b1 = b3-b14 Longrightarrow 4,b2 = b3 + 3,b1
Da quinta x1+5x2=b5, análogo:
b1+8x2=b5 Longrightarrow x2 = b5-b18
e
b2-b1 = b5-b18 Longrightarrow 8,b2 = b5 + 7,b1

Resposta

As condições de consistência são
b2 + b4 = 2,b1, 4,b2 = b3 + 3,b1, 8,b2 = b5 + 7,b1

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