Em cada parte, use o wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é LI:
a) 1, x, e^x;
b) 1, x, x^2;
c) e^x, x e^x, x^2 e^x;
d) sin x, cos x, x cos x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que quatro conjuntos de três funções são linearmente independentes (LI) usando o wronskiano. O conteúdo é teoria de espaços de soluções de EDOs: se o wronskiano de três funções não é a função zero (isto é, não é identicamente zero num intervalo), então elas são LI nesse intervalo. A definição do wronskiano de f1,f2,f3 é
W(f1,f2,f3)(x) =det f1(x)&f2(x)&f3(x) f1'(x)&f2'(x)&f3'(x) f1''(x)&f2''(x)&f3''(x)

Passo 2

Para cada conjunto, vamos:
  1. listar as funções fi e suas primeiras duas derivadas;
  2. montar a matriz do wronskiano;
  3. calcular o determinante e verificar que não é a função zero.

Passo 3

Conjunto (a): 1,;x,;e^x.
Derivadas:
f1=1,;f1'=0,;f1''=0; f2=x,;f2'=1,;f2''=0; f3=e^x,;f3'=e^x,;f3''=e^x
Então
W(1,x,e^x) =det 1 & x & e^x 0 & 1 & e^x 0 & 0 & e^x =1cdot1cdot e^x =e^xneq0
Como e^x não é a função zero, o conjunto é LI.

Passo 4

Conjunto (b): 1,;x,;x^2.
Derivadas:
f1=1,;f1'=0,;f1''=0; f2=x,;f2'=1,;f2''=0; f3=x^2,;f3'=2x,;f3''=2
Logo
W(1,x,x^2) =det 1 & x & x^2 0 & 1 & 2x 0 & 0 & 2 =1cdot1cdot2 =2neq0
Portanto o conjunto é LI.

Passo 5

Conjunto (c): e^x,;x e^x,;x^2 e^x.
Derivadas:
f1=e^x,;f1'=e^x,;f1''=e^x; f2=x e^x,;f2'=(1+x)e^x,;f2''=(2+x)e^x;
f3=x^2e^x,;f3'=(2x+x^2)e^x,;f3''=(2+4x+x^2)e^x
No wronskiano cada coluna tem fator e^x, logo
W(e^x,x e^x,x^2e^x) =e^3xdet 1 & x & x^2 1 &1+x&x^2+2x 1 &2+2x&x^2+4x+2 =2,e^3xneq0
Assim o conjunto é LI.

Passo 6

Conjunto (d): sin x,;cos x,;xcos x.
Derivadas:
f1=sin x,;f1'=cos x,;f1''=-sin x; f2=cos x,;f2'=-sin x,;f2''=-cos x;
f3=xcos x,;f3'=cos x-xsin x,; f3''=-2sin x-xcos x
Calcula-se
W(sin x,cos x,xcos x)=2sin x,
que não é a função zero (só some em pontos isolados). Logo o conjunto é LI.

Resposta

(a) O wronskiano é e^xneq0, logo LI.
(b) O wronskiano é 2neq0, logo LI.
(c) O wronskiano é 2e^3xneq0, logo LI.
(d) O wronskiano é 2sin x (não identicamente zero), logo LI.

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