Seja V=R^2. Verifique, em cada um dos itens, se S é um subespaço vetorial de V:
a) S=(x, y) in R^2: y=2 x;
b) S=(x, y) in R^2: y=4-2 x;
c) S=(x, y) in R^2: y=|x|;
d) S=(x, y) in R^2: x y >= 0.

Passo 1

O enunciado diz que V=R^2 e, para cada conjunto Ssubseteq V, queremos verificar se S é subespaço vetorial. Lembrando que um subespaço W de V deve satisfazer três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se lambdainR e uin W então lambda,uin W.

Passo 2

Analisando o item (a),
S=(x,y)inR^2 : y=2x
  1. O vetor zero é (0,0) e satisfaz 0=2cdot0, logo 0in S.
  2. Se (x1,2x1) e (x2,2x2) estão em S, então
(x1,2x1)+(x2,2x2)=(x1+x2,2x1+2x2)=(x1+x2,2(x1+x2)),
que ainda satisfaz a equação y=2x.
3. Para lambdainR e (x,2x)in S,
lambda,(x,2x)=(lambda x,2lambda x),
que também satisfaz y=2x.
Portanto, em (a) S é subespaço de V.

Passo 3

No item (b),
S=(x,y)inR^2 : y=4-2x
O vetor zero (0,0) não satisfaz 0=4-2cdot0 (pois daria 0=4), logo 0notin S. Basta essa falha para concluir que S não é subespaço.

Passo 4

No item (c),
S=(x,y)inR^2 : y=lvert xrvert
Temos 0=(0,0) em S porque 0=lvert 0rvert. Porém, para (x,lvert xrvert)in S e lambda=-1,
lambda,(x,lvert xrvert)=(-x,-lvert xrvert)
Esse ponto só satisfaz -lvert xrvert=lvert -xrvert=lvert xrvert se lvert xrvert=0. Em geral -lvert xrvertneqlvert xrvert, então lambda,(x,lvert xrvert)notin S. Falha na fechadura por escalar, logo não é subespaço.

Passo 5

No item (d),
S=(x,y)inR^2 : x,y>=0
O zero está em S porque 0cdot0=0>=0. Mas tome
u=(1,0) e v=(0,-1);
ambos satisfazem x,y>=0 (produto zero), mas
u+v=(1,-1) tem 1cdot(-1)=-1<0,
logo u+vnotin S. Falha na fechadura por soma, então não é subespaço.

Resposta

(a) S é subespaço vetorial de V.
(b) S não é subespaço vetorial de V.
(c) S não é subespaço vetorial de V.
(d) S não é subespaço vetorial de V.

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