Seja
. Verifique, em cada um dos itens, se
é um subespaço vetorial de V:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que
e, para cada conjunto
, queremos verificar se
é subespaço vetorial. Lembrando que um subespaço
de
deve satisfazer três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Analisando o item (a),
- O vetor zero é
e satisfaz , logo . - Se
e estão em , então
que ainda satisfaz a equação
.
3. Para e
,
3. Para
que também satisfaz
.
Portanto, em (a) é subespaço de
.
Portanto, em (a)
Passo 3
No item (b),
O vetor zero
não satisfaz
(pois daria
), logo
. Basta essa falha para concluir que
não é subespaço.
Passo 4
No item (c),
Temos
em
porque
. Porém, para
e
,
Esse ponto só satisfaz
se
. Em geral
, então
. Falha na fechadura por escalar, logo não é subespaço.
Passo 5
No item (d),
O zero está em
porque
. Mas tome
e
;
ambos satisfazem (produto zero), mas
tem
,
logo . Falha na fechadura por soma, então não é subespaço.
ambos satisfazem
logo
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) não é subespaço vetorial de
.
(c) não é subespaço vetorial de
.
(d) não é subespaço vetorial de
.
(b)
(c)
(d)