Determine o espaço solução do seguinte sistema linear: A X=0, em que
A=[ccccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 -2 & -2 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo A X = 0, onde
A = 1 & 1 & 0 & 0 & 1 -2 & -2 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 & 0 ,
e pede o espaço solução (ou núcleo) desse sistema. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada de A, identificar as variáveis livres e expressar as variáveis dependentes em função delas.

Passo 2

Começamos aplicando operações elementares em A. Tomemos R2 R2 + 2R1 e R3 R3 - R1. Isso dá
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & 1 & -1

Passo 3

Agora somamos R3 R3 + R2 para eliminar a entrada -1 em (3,3). Obtemos
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Essa é a forma escalonada. Os pivôs estão nas colunas 1 e 3, logo x1 e x3 são variáveis líderes. As colunas 2, 4 e 5 são livres.

Passo 4

Chamemos de parâmetros:
x2 = s, x4 = t, x5 = u,
com s,t,uinR. Das linhas escalonadas lemos:
linha 1: x1 + x2 + x5 = 0 Longrightarrow x1 = -s - u,
linha 2: x3 - x4 + x5 = 0 Longrightarrow x3 = t - u

Passo 5

Assim, o vetor solução geral X=(x1,x2,x3,x4,x5) é
X = l(-s - u,;s,;t - u,;t,;ur) = s,l(-1,1,0,0,0r) + t,l(0,0,1,1,0r) + u,l(-1,0,-1,0,1r)
Logo o espaço solução (núcleo de A) é o subespaço gerado por esses três vetores.

Resposta

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