Verifique se os vetores V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(1,0,1) e V4=(1,2,1) geram o espaço R^3.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores ,V1=(1,1,0), ,V2=(0,1,1), ,V3=(1,0,1) e ,V4=(1,2,1) em R^3 e pede para verificar se eles geram R^3. O conteúdo aqui é checar se o posto da família vetorial é 3, isto é, se existem três vetores linearmente independentes no conjunto; nesse caso, eles formam base e geram R^3.

Passo 2

Escolhemos os vetores ,V1,V2,V3 e escrevemos uma matriz 3times3 cujas colunas são esses vetores, pois se seu determinante for diferente de zero então esses três vetores são linearmente independentes:
A= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores:
det(A) =1cdot(1cdot1-0cdot1)-0cdot(1cdot1-0cdot0)+1cdot(1cdot1-1cdot0) =1+1=2neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, os vetores V1,V2,V3 são linearmente independentes e formam uma base de R^3. Logo
SpanV1,V2,V3=R^3
e, portanto,
SpanV1,V2,V3,V4=R^3.
Isso mostra que os quatro vetores geram R^3.

Resposta

Sim, os vetores V1, V2, V3 e V4 geram R^3.

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