Determine uma base para o espaço solução do seguinte sistema homogêneo A X=0, em que
A=[cccc 2 & 2 & -1 & 1 -1 & -1 & 2 & 1 1 & 1 & -2 & -1 ]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço nulo (solução do sistema homogêneo) dado por
A X = 0,
onde
A = 2 & 2 & -1 & 1 -1 & -1 & 2 & 1 1 & 1 & -2 & -1
O conteúdo aqui é calcular ker A usando eliminação de Gauss, identificar variáveis livres e expressar a solução geral em função de parâmetros.

Passo 2

Escrevemos o sistema estendido homogêneo e fazemos eliminação para zerar a primeira coluna em baixo do pivô da primeira linha:
rcrrr|r (1) & 2x1 &+2x2 &-x3 &+x4 &=0, (2) &-x1 &-x2 &+2x3 &+x4 &=0, (3) & x1 &+x2 &-2x3 &-x4 &=0
Fazendo
R2 R2 + tfrac12,R1 e
R3 R3 - tfrac12,R1
obtemos
rcrrr|r (1) & 2x1 &+2x2 &-x3 &+x4 &=0, (2prime) & 0 &0 &tfrac32x3 &+tfrac32x4 &=0, (3prime) & 0 &0 &-tfrac32x3 &-tfrac32x4 &=0
Note que ( 3prime) é redundante, restando duas equações independentes.

Passo 3

Da equação ( 2prime) temos
tfrac32,x3 + tfrac32,x4 = 0 Longrightarrow x3 + x4 = 0 Longrightarrow x4 = -,x3

Passo 4

Substituindo x4=-x3 em ( 1) dá
2x1 + 2x2 - x3 + (-x3) = 0 ;Longrightarrow; 2(x1+x2) - 2x3 = 0 ;Longrightarrow; x1 + x2 = x3
Logo
x1 = x3 - x2

Passo 5

As variáveis e são livres. Defina
Então o vetor solução é
Isso mostra que a nulidade é e que
forma uma base.

Resposta

Uma base de ker A é -1100, 101-1 é

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