O enunciado pede para calcular alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101 de uma permutação
alpha=1&22&1in S2
O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: representamos alpha como um ciclo, usamos ordem de elemento e propriedades de potência em grupo.
Passo 2
Escrevendo alpha em notação de ciclo, temos alpha=(1;2). Em geral, se um elemento tem ordem m, então sua inversa é alpha^-1=alpha^m-1 e alpha^m=e. Como (1;2) é um 2-ciclo, sua ordem é 2, logo
alpha^2=e, alpha^-1=alpha^2-1=alpha
Passo 3
Aplicando o resultado: alpha^-1=alpha=(1;2), isto é
alpha^-1=1&22&1,
e
alpha^2=e=1&21&2
Passo 4
Para potências maiores, usamos que alpha^2=e. Assim, se k é par, alpha^k=(alpha^2)^k/2=e, e se k é ímpar, alpha^k=alphacdot e=alpha. Como 100 é par e 101 é ímpar, concluímos: