Para cada permutação alpha dada, encontre alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101.
alpha=(ll1 & 2 2 & 1) in S2

Passo 1

O enunciado pede para calcular alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101 de uma permutação
alpha=1&22&1in S2
O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: representamos alpha como um ciclo, usamos ordem de elemento e propriedades de potência em grupo.

Passo 2

Escrevendo alpha em notação de ciclo, temos alpha=(1;2). Em geral, se um elemento tem ordem m, então sua inversa é alpha^-1=alpha^m-1 e alpha^m=e. Como (1;2) é um 2-ciclo, sua ordem é 2, logo
alpha^2=e, alpha^-1=alpha^2-1=alpha

Passo 3

Aplicando o resultado:
alpha^-1=alpha=(1;2), isto é
alpha^-1=1&22&1,
e
alpha^2=e=1&21&2

Passo 4

Para potências maiores, usamos que alpha^2=e. Assim, se k é par, alpha^k=(alpha^2)^k/2=e, e se k é ímpar, alpha^k=alphacdot e=alpha. Como 100 é par e 101 é ímpar, concluímos:
alpha^100=e, alpha^101=alpha

Resposta

alpha^-1=1&22&1
alpha^2=1&21&2
alpha^100=1&21&2
alpha^101=1&22&1

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