Sejam
um conjunto não vazio e * uma operação binária associativa em
tal que para quaisquer
e
em
as equações
e
admitem solução em
. Prove que
é um grupo.
Passo 1
O enunciado considera um conjunto não-vazio
equipado com uma operação binária
que é associativa e tais que, para quaisquer
, as equações
e
têm solução em
. Queremos provar que
é um grupo, ou seja, existe um elemento neutro
e para cada
existe um inverso
tal que
Passo 2
Construímos primeiro um elemento que funcione como identidade à esquerda.
Fixe um elemento arbitrário . Pela hipótese, a equação
Fixe um elemento arbitrário
admite solução em
; seja
tal que
Agora, para qualquer
, use novamente a hipótese na equação
que tem solução
. Logo
. Então
Isso mostra que
ou seja,
é identidade à esquerda em
.
Passo 3
De forma análoga, construímos um elemento que seja identidade à direita.
Ainda fixando , a hipótese garante solução
da equação
Ainda fixando
Para qualquer
, pela hipótese existe
tal que
. Então
usando a associatividade e o fato de
. Logo
ou seja,
é identidade à direita.
Passo 4
Mostramos que as identidades à esquerda e à direita coincidem. Como
é identidade à esquerda, temos
Como
é identidade à direita, temos
Logo
portanto existe um único elemento
que é identidade tanto à esquerda quanto à direita em
.
Passo 5
Finalmente, mostramos que todo
tem inverso em relação a
.
Para dado , a equação
Para dado
tem solução em
; seja
tal que
. E a equação
tem solução em
; seja
tal que
. Então, usando
e associatividade, temos
Portanto
é simultaneamente inverso à direita e à esquerda de
. Em outras palavras,
Resposta
Concluímos que existe um elemento neutro
e cada
possui um inverso
, de modo que
satisfaz todos os axiomas de grupo. Portanto,
é um grupo.