Sejam G um conjunto não vazio e * uma operação binária associativa em G tal que para quaisquer a e b em G as equações a * x=b e y * a=b admitem solução em G. Prove que (G, *) é um grupo.

Passo 1

O enunciado considera um conjunto não-vazio G equipado com uma operação binária * que é associativa e tais que, para quaisquer a,bin G, as equações
a * x = b
e
y * a = b
têm solução em G. Queremos provar que (G,*) é um grupo, ou seja, existe um elemento neutro e e para cada ain G existe um inverso a^-1 tal que
e * a = a * e = a, a * a^-1 = a^-1 * a = e

Passo 2

Construímos primeiro um elemento que funcione como identidade à esquerda.
Fixe um elemento arbitrário ain G. Pela hipótese, a equação
y * a = a
admite solução em G; seja uin G tal que
u * a = a
Agora, para qualquer gin G, use novamente a hipótese na equação
a * x = g,
que tem solução xin G. Logo g = a * x. Então
u * g = u * (a * x) = (u * a) * x (associatividade)
= a * x = g
Isso mostra que
u * g = gpara todo (gin G),
ou seja, u é identidade à esquerda em G.

Passo 3

De forma análoga, construímos um elemento que seja identidade à direita.
Ainda fixando ain G, a hipótese garante solução vin G da equação
a * x = a
Para qualquer gin G, pela hipótese existe yin G tal que y * a = g. Então
g * v = (y * a) * v = y * (a * v) = y * a = g,
usando a associatividade e o fato de a*v = a. Logo
g * v = gpara todo (gin G),
ou seja, v é identidade à direita.

Passo 4

Mostramos que as identidades à esquerda e à direita coincidem. Como u é identidade à esquerda, temos
u * v = v
Como v é identidade à direita, temos
u * v = u
Logo
u = u * v = v,
portanto existe um único elemento e := u = v que é identidade tanto à esquerda quanto à direita em G.

Passo 5

Finalmente, mostramos que todo ain G tem inverso em relação a e.
Para dado a, a equação
a * x = e
tem solução em G; seja b tal que a * b = e. E a equação
y * a = e
tem solução em G; seja c tal que c * a = e. Então, usando c*c e associatividade, temos
c = c * e = c * (a * b) = (c * a) * b = e * b = b
Portanto b=c é simultaneamente inverso à direita e à esquerda de a. Em outras palavras,
a * b = b * a = e

Resposta

Concluímos que existe um elemento neutro ein G e cada ain G possui um inverso a^-1, de modo que (G,*) satisfaz todos os axiomas de grupo. Portanto, (G,*) é um grupo.

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