Se retirarmos a hipótese de G ser um conjunto finito, o exercício do ítem anterior continua válido? Justifique.

Passo 1

No exercício anterior mostramos, para um conjunto finito X e um grupo finito G agindo em X, que o número de órbitas de X sob a ação de G é dado por Burnside:
|X/G| ;=;1|G|sumgin G |Fix(g)|,
onde Fix(g)=,xin Xmid gcdot x=x. Para chegar a essa fórmula usamos explicitamente que G é finito, tanto para somar em todos os gin G quanto para dividir por |G|.

Passo 2

Na demonstração de Burnside empregamos duas propriedades cruciais da finitude de G:
  1. A soma sumgin G|Fix(g)| é realmente uma soma finita.
  2. Podemos dividir o total dessa soma pelo número de elementos |G| — a divisão por um número finito é bem definida.

Passo 3

Se retirarmos a hipótese de finitude de G, a soma
sumgin G|Fix(g)|
deixa de fazer sentido como soma finita e pode divergir ou não estar bem definida. Além disso, tfrac1|G| deixa de ser um número real (pois |G|=infty não é um escalar em R).

Passo 4

Sem essas duas peças — soma finita e divisão por |G| finito — toda a prova de Burnside desmorona. Não temos como reproduzir o argumento original, pois não dá para “média” sobre infinitos elementos sem estruturar uma medida ou outra no grupo.

Passo 5

Em contextos mais avançados, quando G é um grupo topológico compactos (por exemplo um grupo de Lie compacto) e a ação é contínua, substitui-se a soma pela integral em relação à medida de Haar de G. Mas isso exige hipóteses extras (estrutura de espaço topológico, continuidade da ação, medida invariante) que não estavam no enunciado original.

Resposta

Não. Sem a hipótese de G finito a soma sumgin G|Fix(g)| e a divisão por |G| não existem como no caso finito, logo a fórmula do item anterior não se mantém sem hipóteses adicionais.

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