Se retirarmos a hipótese de
ser um conjunto finito, o exercício do ítem anterior continua válido? Justifique.
Passo 1
No exercício anterior mostramos, para um conjunto finito
e um grupo finito
agindo em
, que o número de órbitas de
sob a ação de
é dado por Burnside:
onde
. Para chegar a essa fórmula usamos explicitamente que
é finito, tanto para somar em todos os
quanto para dividir por
.
Passo 2
Na demonstração de Burnside empregamos duas propriedades cruciais da finitude de
:
- A soma
é realmente uma soma finita. - Podemos dividir o total dessa soma pelo número de elementos
— a divisão por um número finito é bem definida.
Passo 3
Se retirarmos a hipótese de finitude de
, a soma
deixa de fazer sentido como soma finita e pode divergir ou não estar bem definida. Além disso,
deixa de ser um número real (pois
não é um escalar em
).
Passo 4
Sem essas duas peças — soma finita e divisão por
finito — toda a prova de Burnside desmorona. Não temos como reproduzir o argumento original, pois não dá para “média” sobre infinitos elementos sem estruturar uma medida ou outra no grupo.
Passo 5
Em contextos mais avançados, quando
é um grupo topológico compactos (por exemplo um grupo de Lie compacto) e a ação é contínua, substitui-se a soma pela integral em relação à medida de Haar de
. Mas isso exige hipóteses extras (estrutura de espaço topológico, continuidade da ação, medida invariante) que não estavam no enunciado original.
Resposta
Não. Sem a hipótese de
finito a soma
e a divisão por
não existem como no caso finito, logo a fórmula do item anterior não se mantém sem hipóteses adicionais.