Para cada permutação alpha dada, encontre alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101.
alpha=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1) in S3

Passo 1

O enunciado pede, para a permutação
alpha = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1in S3,
que a gente encontre alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, em particular o estudo de permutações como ciclos e o cálculo de suas potências e inverso.

Passo 2

Vamos reescrever alpha em notação cíclica. O mapeamento é
1mapsto 2, 2mapsto 3, 3mapsto 1,
logo em ciclo único fica
alpha = (1;2;3)

Passo 3

Em grupos de permutações, o inverso de um ciclo é o mesmo ciclo lido ao contrário. Assim, para o ciclo (1;2;3) temos
alpha^-1 = (1;3;2)

Passo 4

Para obter alpha^2, aplicamos alpha duas vezes:
1mapsto2mapsto3, 2mapsto3mapsto1, 3mapsto1mapsto2
Logo
alpha^2 = (1;3;2)

Passo 5

O ciclo (1;2;3) tem ordem 3, ou seja alpha^3 = e. Portanto, para todo inteiro k vale
alpha^k = alpha^k bmod 3
Calculamos as classes de 100 e 101 módulo 3:
100 equiv 1 pmod3, 101 equiv 2 pmod3

Passo 6

Usando o resultado acima:
alpha^100 = alpha^1 = (1;2;3), alpha^101 = alpha^2 = (1;3;2)

Resposta

alpha^-1=(1;3;2)
alpha^2=(1;3;2)
alpha^100=(1;2;3)
alpha^101=(1;3;2)

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