que a gente encontre alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, em particular o estudo de permutações como ciclos e o cálculo de suas potências e inverso.
Passo 2
Vamos reescrever alpha em notação cíclica. O mapeamento é
1mapsto 2, 2mapsto 3, 3mapsto 1,
logo em ciclo único fica
alpha = (1;2;3)
Passo 3
Em grupos de permutações, o inverso de um ciclo é o mesmo ciclo lido ao contrário. Assim, para o ciclo (1;2;3) temos
alpha^-1 = (1;3;2)
Passo 4
Para obter alpha^2, aplicamos alpha duas vezes:
1mapsto2mapsto3, 2mapsto3mapsto1, 3mapsto1mapsto2
Logo
alpha^2 = (1;3;2)
Passo 5
O ciclo (1;2;3) tem ordem 3, ou seja alpha^3 = e. Portanto, para todo inteiro k vale