Para cada permutação alpha dada, encontre alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101.
alpha=(llll1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2) in S4

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação
alpha = 1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2 in S4
e pede alpha^-1, alpha^2, alpha^100 e alpha^101. Vamos usar decomposição em ciclos e a propriedade de potências de permutações.

Passo 2

Escrevemos alpha em ciclos disjuntos:
alpha = (1;3)(2;4)
Cada transposição é de ordem 2, e o inverso de uma transposição é ela mesma. Logo
alpha^-1 = (1;3)^-1(2;4)^-1 = (1;3)(2;4) = alpha
Em notação de duas linhas:
alpha^-1 = 1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2

Passo 3

Como alpha é produto de duas transposições disjuntas, sua ordem é 2. Portanto
alpha^2 = e = 1 & 2 & 3 & 4 1 & 2 & 3 & 4

Passo 4

Para alpha^100 usamos que alpha^100 = (alpha^2)^50 = e^50 = e. Logo
alpha^100 = 1 & 2 & 3 & 4 1 & 2 & 3 & 4

Passo 5

Finalmente,
alpha^101 = alpha^100,alpha = e,alpha = alpha = 1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2

Resposta

alpha^-1 = 1&2&3&43&4&1&2, alpha^2 = 1&2&3&41&2&3&4, alpha^100 = 1&2&3&41&2&3&4, alpha^101 = 1&2&3&43&4&1&2

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