e
gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2) , mostre que:
(alpha beta)^2 neq alpha^2 beta^2
Passo 1
Aqui temos três permutações em
S3 dadas na notação de duas linhas:
O que nos interessa é mostrar que
O conteúdo aqui envolve composição de permutações e uso de notação de ciclos.
Passo 2
Vamos reescrever
alpha e
beta em notação de ciclo, que é mais direta para composição:
alpha envia
1mapsto2 ,
2mapsto3 ,
3mapsto1 , logo
Passo 3
Calculamos agora
alphabeta , lembrando que a convenção é aplicar primeiro
beta e depois
alpha . Assim, para cada
xin1,2,3 :
-
, logo1mapstobeta2mapstoalpha3 .(alphabeta)(1)=3 -
, logo2mapstobeta1mapstoalpha2 .(alphabeta)(2)=2 -
, logo3mapstobeta3mapstoalpha1 .(alphabeta)(3)=1
Isso mostra que
é a transposição que troca
1 e
3 .
Passo 4
Agora avaliamos cada lado da desigualdade:
-
. Como(alphabeta)^2 é uma transposição, ao quadrado ela vira a identidade:alphabeta=(1,3)
-
. Temosalpha^2beta^2
Logo
que não é a identidade.
Portanto
Resposta
Como
eneq(1,3,2) , concluímos que