Dados alpha=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1), beta=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) e gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2), mostre que:
(alpha beta)^2 neq alpha^2 beta^2

Passo 1

Aqui temos três permutações em S3 dadas na notação de duas linhas:
alpha=1&2&32&3&1, beta=1&2&32&1&3, gamma=1&2&33&1&2
O que nos interessa é mostrar que
(alphabeta)^2neqalpha^2,beta^2
O conteúdo aqui envolve composição de permutações e uso de notação de ciclos.

Passo 2

Vamos reescrever alpha e beta em notação de ciclo, que é mais direta para composição:
alpha envia 1mapsto2, 2mapsto3, 3mapsto1, logo
alpha=(1,2,3)
beta troca 1 e 2 e fixa 3, ou seja
beta=(1,2)

Passo 3

Calculamos agora alphabeta, lembrando que a convenção é aplicar primeiro beta e depois alpha. Assim, para cada xin1,2,3:
  • 1mapstobeta2mapstoalpha3, logo (alphabeta)(1)=3.
  • 2mapstobeta1mapstoalpha2, logo (alphabeta)(2)=2.
  • 3mapstobeta3mapstoalpha1, logo (alphabeta)(3)=1.
    Isso mostra que
alphabeta=(1,3)
é a transposição que troca 1 e 3.

Passo 4

Agora avaliamos cada lado da desigualdade:
  1. (alphabeta)^2. Como alphabeta=(1,3) é uma transposição, ao quadrado ela vira a identidade:
(alphabeta)^2 = (1,3)^2 = e
  1. alpha^2beta^2. Temos
alpha^2=(1,2,3)^2=(1,3,2), beta^2=(1,2)^2=e
Logo
alpha^2,beta^2=(1,3,2),e = (1,3,2),
que não é a identidade.
Portanto
(alphabeta)^2=e e alpha^2beta^2=(1,3,2)neq e

Resposta

Como eneq(1,3,2), concluímos que
(alphabeta)^2neqalpha^2,beta^2

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