Dados alpha=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1), beta=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) e gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2), mostre que:
(alpha beta)^-1 neq alpha^-1 beta^-1

Passo 1

O enunciado nos dá duas permutações em S3:
alpha = 1&2&32&3&1, beta = 1&2&32&1&3
e quer mostrar que
(alphabeta)^-1neq alpha^-1,beta^-1
O conteúdo aqui é que em grupos não comutativos (como S3) vale em geral (xy)^-1neq x^-1y^-1. Vamos verificar calculando ambos os lados.

Passo 2

Primeiro convertemos alpha e beta em ciclos e calculamos alphabeta.
alpha é o ciclo (1;2;3), pois alpha(1)=2,alpha(2)=3,alpha(3)=1.
beta é a transposição (1;2), pois beta(1)=2,beta(2)=1,beta(3)=3.
A composição alphabeta age por
(alphabeta)(i)=alphal(beta(i)r)
Assim
(alphabeta)(1)=alpha(2)=3, (alphabeta)(2)=alpha(1)=2, (alphabeta)(3)=alpha(3)=1,
logo
alphabeta = 1&2&33&2&1 = (1;3)

Passo 3

Agora o inverso de alphabeta=(1;3) é ele mesmo, pois toda transposição é seu próprio inverso. Logo
(alphabeta)^-1 = (1;3)

Passo 4

Precisamos de alpha^-1 e beta^-1.
alpha^-1 é o ciclo inverso de (1;2;3), ou seja (1;3;2).
beta^-1=beta pois beta é transposição.
Em seguida
alpha^-1beta^-1 = (1;3;2),(1;2)
Calculando alpha^-1circbeta:
(alpha^-1beta)(1)=alpha^-1(2)=1, (alpha^-1beta)(2)=alpha^-1(1)=3, (alpha^-1beta)(3)=alpha^-1(3)=2,
ou seja
alpha^-1beta^-1 = 1&2&31&3&2 = (2;3)

Passo 5

Comparando os dois resultados:
(alphabeta)^-1 = (1;3), alpha^-1beta^-1 = (2;3)
Como (1;3)neq(2;3), concluímos que
(alphabeta)^-1neq alpha^-1,beta^-1

Resposta

(alphabeta)^-1=(1;3)neq(2;3)=alpha^-1beta^-1

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