Para cada um dos polinômios a seguir, determine suas raízes.
x^3+6 x^2+11 x+6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio cúbico
x^3 + 6x^2 + 11x + 6
O conteúdo aqui envolve o Teorema das Raízes Racionais para testar possíveis zeros e depois fatorar o polinômio.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as únicas raízes possíveis são pm1,pm2,pm3,pm6, pois são os divisores de 6 (termo independente) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder).

Passo 3

Testando x=-1, temos
f(-1)=(-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6=-1+6-11+6=0
Logo, -1 é uma raiz do polinômio.

Passo 4

Como -1 é raiz, podemos dividir
x^3+6x^2+11x+6
por (x+1). Fazendo isso (por divisão sintética ou polinomial) obtém-se
x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6)

Passo 5

Para encontrar as outras raízes, resolvemos
x^2+5x+6=0
Fatorando,
x^2+5x+6=(x+2)(x+3),
logo as raízes são x=-2 e x=-3.

Resposta

As raízes do polinômio são x=-1, x=-2 e x=-3.

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