a)
.
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas regras de derivação envolvendo produto de funções: a) derivada de um escalar vezes um vetor e b) derivada do produto escalar de dois vetores. Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente de diferenças e as propriedades de linearidade da soma e do produto por escalar.
Passo 2
Para a parte (a), considere o vetor
A derivada \[
\frac{dA}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t}.\]No numerador temos
\vec F(t+\Delta t)\to\vec F(t),\]logo obtemos
Passo 3
Para a parte (b), use que o produto escalar é definido componente a componente e é bilinear. Seja
Aplicando a regra de derivada de soma e produto para funções escalares, temos
Resposta
a)
b)
b)