a) dd t(f cdot F)=d fd t cdot F+f cdot d Fd t.
b) dd t(F cdot G)=d Fd t cdot G+F cdot d Gd t.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas regras de derivação envolvendo produto de funções: a) derivada de um escalar vezes um vetor e b) derivada do produto escalar de dois vetores. Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente de diferenças e as propriedades de linearidade da soma e do produto por escalar.

Passo 2

Para a parte (a), considere o vetor A derivada \[
\frac{dA}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t}.\]No numerador temos
Agora adicionamos e subtraímos o mesmo termo para separar em dois pedaços:
Dividindo por \(\Delta t) e fazendo o limite, usamos que \[
\vec F(t+\Delta t)\to\vec F(t),\]logo obtemos
)

Passo 3

Para a parte (b), use que o produto escalar é definido componente a componente e é bilinear. Seja phi(t)=vec F(t)cdotvec G(t)=sumiFi(t),Gi(t)Aplicando a regra de derivada de soma e produto para funções escalares, temos
dphidt=sumiddtl(Fi(t),Gi(t)r) =sumil(Fi'(t),Gi(t)+Fi(t),Gi'(t)r) Reconhecendo novamente o produto escalar nas somas, concluímos
ddt(vec Fcdotvec G)=dvec Fdtcdotvec G+vec Fcdotdvec Gdt

Resposta

a) ddt(fcdotF)=dfdtcdotF+fcdotdFdt
b) ddt(FcdotG)=dFdtcdotG+FcdotdGdt

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