Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(3 n+5)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termo geral
2(3n+5)^2
é convergente ou divergente. Estamos no conteúdo de testes de convergência para séries de termos positivos e vamos usar o teste de comparação com uma série p conhecida.

Passo 2

Lembrando que a série
sumn=1^infty1n^p
converge exatamente quando p>1. No nosso caso, vamos comparar 2(3n+5)^2 com uma constante vezes 1n^2, tomando p=2.

Passo 3

Para todo n>=1 vale
(3n+5)^2>=(3n)^2=9n^2,
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2(3n+5)^2<=29n^2=29,1n^2
Como sumn=1^infty1n^2 é convergente ( p=2>1), pelo teste da comparação direta concluímos que
sumn=1^infty2(3n+5)^2
também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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