Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumk=1^infty (2 k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumk=1^infty (2k-1),(k^2-1)(k+1),(k^2+4)^2
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas usando comparação assintótica (ou teste da comparação limite) com uma série-p.

Passo 2

Analisamos o comportamento para ktoinfty. No numerador temos
(2k-1)(k^2-1)=2k^3 - k^2 -2k +1sim 2k^3,
e no denominador
(k+1)(k^2+4)^2 = (k+1)l(k^4 + 8k^2 +16r)sim kcdot k^4 = k^5
Logo,
(2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2sim 2k^3k^5 = 2k^2

Passo 3

Tomamos a série de comparação
sumk=1^infty bk, bk = 1k^2,
que é uma série-p com p=2>1, portanto convergente. Aplicando o teste da comparação limite, calculamos
L = limktoinfty akbk = limktoinfty (2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^21k^2 = limktoinfty (2k-1)(k^2-1),k^2(k+1)(k^2+4)^2
Usando o comportamento assintótico, temos
L = limktoinfty 2k^3cdot k^2k^5 = limktoinfty 2 = 2
Como 0 < L < infty, a série sum ak converge ou diverge junto com sum bk.

Passo 4

Como sum bk converge e o limite L é finito e não nulo, concluímos que
sumk=1^infty (2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2
converge também.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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