Para cada um dos polinômios a seguir, determine suas raízes.
x^4-3 x^3+x^2+3 x-2

Passo 1

Temos o polinômio
p(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2
e queremos suas raízes. O conteúdo é fatoração de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra, usando raízes racionais e divisão de polinômios.

Passo 2

Pela regra de racionalidade, as possíveis raízes são divisores de -2, ou seja pm1 e pm2. Vamos testar pm1:
p(1)=1-3+1+3-2=0,
logo x=1 é raiz.
p(-1)=1+3+1-3-2=0,
logo x=-1 também é raiz.

Passo 3

Como x=1 e x=-1 são raízes, o polinômio é divisível por (x-1)(x+1)=x^2-1. Fazendo a divisão, ou simplesmente observando que
(x^2-1)(x^2-3x+2) = x^4-3x^3+2x^2-x^2+3x-2 = x^4-3x^3+x^2+3x-2,
vemos que
p(x)=(x^2-1),(x^2-3x+2)

Passo 4

O trinômio x^2-3x+2 se fatoriza como
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Portanto
p(x)=(x-1)(x+1)(x-1)(x-2)=(x-1)^2(x+1)(x-2)

Resposta

As raízes de p(x) são
x=1 (mu<iplicidade 2), x=-1, x=2

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