Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 1n,2^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas de termos positivos; um método eficiente aqui é o teste da razão (ou razão de d’Alembert).

Passo 2

Chamando
an = 1n,2^n,
calculamos a razão
an+1an = 1(n+1),2^,n+1 1n,2^n = n2,(n+1)
Então
limntoinfty an+1an = limntoinfty n2(n+1) = 12 < 1
Como esse limite é menor que 1, a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n,2^n é convergente.

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