Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty12n+1
O conteúdo aqui é séries numéricas e, como o termo geral tfrac12n+1 se comporta como tfrac1n quando n é grande, vamos usar o teste da comparação por limite com a série harmônica.

Passo 2

Considere a série harmônica
sumn=1^infty1n,
que é conhecida por divergir. Vamos aplicar o teste da comparação por limite entre an=tfrac12n+1 e bn=tfrac1n. Calculamos
limntoinftyanbn =limntoinfty12n+11n =limntoinftyn2n+1 =12
Como o limite é um número finito e estritamente maior que zero, as duas séries têm o mesmo comportamento: se uma diverge, a outra também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty12n+1 é divergente.

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