Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1raiz2n+1
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar inclui o teste da série p (série harmônica generalizada) e o teste de comparação limite.

Passo 2

Lembrando o teste da série p: a série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, o termo geral behave como
1raiz2n+1sim1raiz2,raizn=1raiz2,1n^1/2,
isto é, corresponde a p=tfrac12<1, sugerindo divergência.

Passo 3

Para tornar o argumento rigoroso, aplicamos o teste de comparação limite. Definimos
an=1raiz2n+1 e bn=1raizn
Calculamos
L=limntoinftyanbn =limntoinfty1/raiz2n+11/raizn =limntoinftyraiznraiz2n+1 =1raiz2>0
Como sum bn é uma série p com p=tfrac12<1 (logo diverge) e 0<L<infty, conclui-se que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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