Em cada ponto da curva , tem-se . Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo , determinar a equação da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma curva definida por , e a segunda derivada dessa curva é . A gente também sabe que a reta tangente à curva no ponto é paralela ao eixo . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação dessa reta tangente.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A primeira derivada, , nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto. A segunda derivada, , nos dá a taxa de variação da inclinação, ou seja, como a inclinação está mudando.
Aqui, a segunda derivada é dada por . Para encontrar a primeira derivada, precisamos integrar a segunda derivada em relação a .
Passo 3
Vamos integrar para encontrar a primeira derivada :
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Sabemos que a reta tangente é paralela ao eixo no ponto . Se a reta é paralela ao eixo , isso significa que sua inclinação é zero. Ou seja, a primeira derivada nesse ponto é zero:
Portanto, a expressão para a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora que temos a primeira derivada, podemos encontrar a expressão para integrando :
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando o ponto dado .
Passo 6
Sabemos que quando , . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Portanto, a expressão para fica:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente no ponto . Sabemos que a reta tangente tem a forma geral:
Onde é a inclinação da reta no ponto .
Como a reta é paralela ao eixo , a inclinação . E o ponto dado é .
Substituindo esses valores na equação da reta, temos: