Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se d^2y/dx^2 = t^2 x. Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto 0,1 é paralela ao eixo x, determinar a equação da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma curva definida por , e a segunda derivada dessa curva é . A gente também sabe que a reta tangente à curva no ponto é paralela ao eixo . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação dessa reta tangente.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A primeira derivada, , nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto. A segunda derivada, , nos dá a taxa de variação da inclinação, ou seja, como a inclinação está mudando.
Aqui, a segunda derivada é dada por . Para encontrar a primeira derivada, precisamos integrar a segunda derivada em relação a .

Passo 3

Vamos integrar para encontrar a primeira derivada :
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Sabemos que a reta tangente é paralela ao eixo no ponto . Se a reta é paralela ao eixo , isso significa que sua inclinação é zero. Ou seja, a primeira derivada nesse ponto é zero:
Portanto, a expressão para a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora que temos a primeira derivada, podemos encontrar a expressão para integrando :
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando o ponto dado .

Passo 6

Sabemos que quando , . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Portanto, a expressão para fica:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente no ponto . Sabemos que a reta tangente tem a forma geral:
Onde é a inclinação da reta no ponto .
Como a reta é paralela ao eixo , a inclinação . E o ponto dado é .
Substituindo esses valores na equação da reta, temos:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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