Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) x + y = 3, y = 1/2 x e y = 2 x.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , e . Para isso, vamos utilizar integrais, escolhendo integrar em relação a . Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Portanto, um ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, encontramos a interseção entre e .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Portanto, o outro ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, identificamos a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Então, .
Portanto, eles se intersectam no ponto .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos determinar qual área calcular. Observando os pontos, vemos que a região está entre e .

Passo 6

Para integrar em relação a , precisamos expressar as funções em termos de . As curvas são:
  • (inferior)
  • (superior)
  • (superior após )
Vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 7

Primeira parte ( ):
A curva superior é e a inferior é .
A área é:

Passo 8

Segunda parte ( ):
A curva superior é e a inferior é .
A área é:
Calculando:

Passo 9

Somando as duas áreas:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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