Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e .
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , e . Para isso, vamos utilizar integrais, escolhendo integrar em relação a . Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Portanto, um ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, encontramos a interseção entre e .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Portanto, o outro ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, identificamos a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Então, .
Portanto, eles se intersectam no ponto .
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos determinar qual área calcular. Observando os pontos, vemos que a região está entre e .
Passo 6
Para integrar em relação a , precisamos expressar as funções em termos de . As curvas são:
(inferior)
(superior)
(superior após )
Vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .
Passo 7
Primeira parte ():
A curva superior é e a inferior é .
A área é:
Passo 8
Segunda parte ():
A curva superior é e a inferior é .
A área é:
Calculando:
Passo 9
Somando as duas áreas:
Á
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.