Calcule as integrais definidas:
(j) integral3 pi4^5 pi4 sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular uma integral definida da função secante, que é , no intervalo de até . Para isso, vamos usar a matéria de integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como integrar a função e aplicar os limites da integral para achar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a antiderivada da função integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C . A integral de em relação a é um pouco especial, mas existe uma fórmula conhecida:
Aqui, é a constante de integração, que a gente ignora quando estamos lidando com integrais definidas.

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, vamos calcular a partir de integral3pi4^5pi4 sec x , dx = [ ln |sec x + tan x| ]3pi4^5pi4 até :
Isso significa que vamos substituir por e por na antiderivada e depois subtrair os dois resultados.

Passo 4

Vamos calcular sec(5pi4) = 1cos(5pi4) = 1-raiz22 = -raiz2 para tan(5pi4) = tan(pi + pi4) = tan(pi4) = 1 :
Primeiro, sabemos que:
sec(5pi4) + tan(5pi4) = -raiz2 + 1
e
|sec(5pi4) + tan(5pi4)| = |,-raiz2 + 1,| = raiz2 - 1
Então,
ln |sec(5pi4) + tan(5pi4)| = ln (raiz2 - 1)
Como estamos no logaritmo absoluto, o valor fica:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular sec(3pi4) = 1cos(3pi4) = 1-raiz22 = -raiz2 para tan(3pi4) = tan(pi - pi4) = -tan(pi4) = -1 :
Primeiro, sabemos que:
sec(3pi4) + tan(3pi4) = -raiz2 - 1
e
|sec(3pi4) + tan(3pi4)| = |,-raiz2 - 1,| = raiz2 + 1
Então,
ln |sec(3pi4) + tan(3pi4)| = ln (raiz2 + 1)
No logaritmo absoluto, temos:
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na expressão da integral definida:
integral3pi4^5pi4 sec x , dx = ln (raiz2 - 1) - ln (raiz2 + 1)
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln (raiz2 - 1) - ln (raiz2 + 1) = ln ( raiz2 - 1raiz2 + 1 )
Multiplicando numerador e denominador por raiz2 - 1raiz2 + 1 times raiz2 - 1raiz2 - 1 = (raiz2 - 1)^2(raiz2)^2 - 1^2 = 2 - 2raiz2 + 12 - 1 = 3 - 2raiz2 , temos:
ln ( raiz2 - 1raiz2 + 1 ) = ln (3 - 2raiz2)
Portanto,

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados