Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular uma integral definida da função secante, que é
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a matéria de integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como integrar a função
e aplicar os limites da integral para achar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a antiderivada da função
. A integral de
em relação a
é um pouco especial, mas existe uma fórmula conhecida:
Aqui,
é a constante de integração, que a gente ignora quando estamos lidando com integrais definidas.
Passo 3
Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, vamos calcular a partir de
até
:
Isso significa que vamos substituir
por
e por
na antiderivada e depois subtrair os dois resultados.
Passo 4
Vamos calcular
para
:
Primeiro, sabemos que:
e
Então,
Como estamos no logaritmo absoluto, o valor fica:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
para
:
Primeiro, sabemos que:
e
Então,
No logaritmo absoluto, temos:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos substituir esses valores na expressão da integral definida:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando numerador e denominador por
, temos:
Portanto,
Resposta
A integral definida
é igual a
.