(1,0 ponto)
(a) Prove que uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
(b) Prove que sequência convergente é limitada. Mostre que a recíproca é falsa.
(a) Prove que uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
(b) Prove que sequência convergente é limitada. Mostre que a recíproca é falsa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, separadas em (a) e (b).
-
(a) Mostrar que uma sequência não pode convergir para dois limites distintos. Ou seja: provar que se
é uma sequência e e , então necessariamente . -
(b) (i) Provar que toda sequência convergente é limitada: isto é, se
então existe tal que para todo .
(ii) Mostrar que a recíproca é falsa, isto é, dar um exemplo de sequência limitada que não converge.
Não há outros dados numéricos; as provas serão feitas a partir da definição de convergência de sequência e de desigualdades básicas.
Passo 2
Vou lembrar cuidadosamente a definição de convergência de sequência (isso é importante para usar no exame).
Definição (em palavras): dizemos que a sequência
converge para
e escrevemos
se a seguinte condição for verdadeira:
para todo
existe
tal que para todo
vale
.
Explicando essa definição passo a passo:
-
representa qualquer margem de erro que eu escolha (pode ser muito pequena). - A existência de
significa que a partir de um certo termo da sequência (o -ésimo) todos os termos seguintes ficam dentro da distância do número . - A notação
é a distância entre e na reta dos reais.
Essa definição usa quantificadores ("para todo" e “existe tal que …”), então nas provas é típico escolher um conveniente e obter contradições se necessário.
Passo 3
Prova de (a): unicidade do limite.
Estratégia: provar por contradição. Suponha que
e
com
. Vou escolher um
adequado e usar a definição duas vezes para obter uma contradição.
Detalhes:
- Como
, a distância entre eles é positiva: . - Defina
. Note que . - Pelo fato de
, existe tal que para todo tem . - Pelo fato de
, existe tal que para todo tem . - Tome
. Então para todo ambas as desigualdades valem simultaneamente:
e .
Passo 4
Concluir a contradição e terminar (a).
- Use a desigualdade triangular (ou a desigualdade
) com , , : - Para
o lado direito é . Mas como , temos . Assim: Isto é impossível: obtivemos . - Logo a hipótese
leva a contradição. Portanto a única possibilidade é .
Conclusão do item (a): uma sequência não pode convergir para dois limites distintos; o limite, quando existe, é único.
Passo 5
Prova de (b) primeira parte: sequência convergente implica limitada.
Estratégia: usar a definição com um
conveniente (por exemplo
) para controlar os termos a partir de certo índice, e controlar os poucos termos iniciais separadamente.
Detalhes:
- Suponha
. Tome . - Pela definição de convergência existe
tal que para todo tem . - Para tais
temos, pela desigualdade triangular, Logo todos os termos a partir do índice ficam dentro do intervalo . - Os termos
são um número finito de reais, portanto existem constantes finitas que os boundem; em particular, defina Esse é finito e satisfaz para todo : para pelo máximo, para pela desigualdade acima. - Assim
é limitada.
Passo 6
Prova de (b) segunda parte: a recíproca é falsa — exemplo e explicação.
Exemplo simples e clássico: considere a sequência
definida por
. Observe que para todo
tem
, portanto a sequência é limitada (por exemplo por
).
Agora mostro que
não converge.
- Suponha, por contradição, que
para algum . - Tome
. - Pela definição, existe
tal que para todo vale . - Mas a sequência alterna entre
(quando é par) e (quando é ímpar). Assim existem índices com e com (basta escolher e grandes e de paridade apropriada). - Então
e . Pela desigualdade triangular, isso implicaria mas , logo , contradição. - Portanto
não converge.
Conclusão: existe sequência limitada que não converge; a recíproca é, em geral, falsa.
Passo 7
Resumo final e posição motivadora (um empurrãozinho para a prova):
- A unicidade do limite vem direto da definição: não é possível estar a duas distâncias positivas diferentes de todos os termos a partir de um mesmo índice.
- A sequência convergente é limitada porque, escolhendo uma margem (por exemplo
), controla-se a cauda da sequência e os primeiros termos são finitos em número. - Mas ser limitada não garante convergência: a oscilação persistente (como em
) impede que os termos se aproximem de um único número, apesar de todos estarem dentro de um intervalo fixo.
Força aí — esse tipo de argumento aparece muito em prova e é rápido de escrever quando praticado uma vez.
Resposta
(a) Se
e
então
; portanto uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
(b) Se então
é limitada. Recíproca falsa: por exemplo
é limitada mas não converge.
(b) Se