(1,0 ponto)
(a) Prove que uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
(b) Prove que sequência convergente é limitada. Mostre que a recíproca é falsa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, separadas em (a) e (b).
  • (a) Mostrar que uma sequência não pode convergir para dois limites distintos. Ou seja: provar que se (a_n) é uma sequência e a_n \to L e a_n \to M, então necessariamente L=M.
  • (b) (i) Provar que toda sequência convergente é limitada: isto é, se a_n \to L então existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.
    (ii) Mostrar que a recíproca é falsa, isto é, dar um exemplo de sequência limitada que não converge.
Não há outros dados numéricos; as provas serão feitas a partir da definição de convergência de sequência e de desigualdades básicas.

Passo 2

Vou lembrar cuidadosamente a definição de convergência de sequência (isso é importante para usar no exame).
Definição (em palavras): dizemos que a sequência (a_n) converge para L e escrevemos a_n\to L se a seguinte condição for verdadeira:
para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\varepsilon.
Explicando essa definição passo a passo:
  • \varepsilon>0 representa qualquer margem de erro que eu escolha (pode ser muito pequena).
  • A existência de N significa que a partir de um certo termo da sequência (o N-ésimo) todos os termos seguintes ficam dentro da distância \varepsilon do número L.
  • A notação |a_n-L| é a distância entre a_n e L na reta dos reais.
    Essa definição usa quantificadores ("para todo \varepsilon" e “existe N tal que …”), então nas provas é típico escolher um \varepsilon conveniente e obter contradições se necessário.

Passo 3

Prova de (a): unicidade do limite.
Estratégia: provar por contradição. Suponha que a_n\to L e a_n\to M com L\neq M. Vou escolher um \varepsilon adequado e usar a definição duas vezes para obter uma contradição.
Detalhes:
  • Como L\neq M, a distância entre eles é positiva: |L-M|>0.
  • Defina \varepsilon := \dfrac{|L-M|}{2}. Note que \varepsilon>0.
  • Pelo fato de a_n\to L, existe N_1\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N_1 tem |a_n-L|<\varepsilon.
  • Pelo fato de a_n\to M, existe N_2\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N_2 tem |a_n-M|<\varepsilon.
  • Tome N:=\max\{N_1,N_2\}. Então para todo n\ge N ambas as desigualdades valem simultaneamente:
    |a_n-L|<\varepsilon e |a_n-M|<\varepsilon.

Passo 4

Concluir a contradição e terminar (a).
  • Use a desigualdade triangular (ou a desigualdade |x-y|\le |x-z|+|z-y|) com x=L, z=a_n, y=M: |L-M| \le |L-a_n| + |a_n-M|.
  • Para n\ge N o lado direito é <\varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon. Mas como \varepsilon = \dfrac{|L-M|}{2}, temos 2\varepsilon = |L-M|. Assim: |L-M| < 2\varepsilon = |L-M|.Isto é impossível: obtivemos |L-M| < |L-M|.
  • Logo a hipótese L\neq M leva a contradição. Portanto a única possibilidade é L=M.
Conclusão do item (a): uma sequência não pode convergir para dois limites distintos; o limite, quando existe, é único.

Passo 5

Prova de (b) primeira parte: sequência convergente implica limitada.
Estratégia: usar a definição com um \varepsilon conveniente (por exemplo \varepsilon=1) para controlar os termos a partir de certo índice, e controlar os poucos termos iniciais separadamente.
Detalhes:
  • Suponha a_n\to L. Tome \varepsilon := 1.
  • Pela definição de convergência existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N tem |a_n-L|<1.
  • Para tais n\ge N temos, pela desigualdade triangular, |a_n| \le |a_n-L| + |L| < 1 + |L|.Logo todos os termos a partir do índice N ficam dentro do intervalo [- (1+|L|),\, 1+|L|].
  • Os termos a_1,a_2,\dots,a_{N-1} são um número finito de reais, portanto existem constantes finitas que os boundem; em particular, defina M := \max\big\{\,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,\,1+|L|\,\big\}.Esse M é finito e satisfaz |a_n|\le M para todo n: para n<N pelo máximo, para n\ge N pela desigualdade acima.
  • Assim (a_n) é limitada.

Passo 6

Prova de (b) segunda parte: a recíproca é falsa — exemplo e explicação.
Exemplo simples e clássico: considere a sequência (a_n) definida por a_n := (-1)^n. Observe que para todo n tem |a_n|=1, portanto a sequência é limitada (por exemplo por M=1).
Agora mostro que a_n não converge.
  • Suponha, por contradição, que a_n\to L para algum L\in\mathbb{R}.
  • Tome \varepsilon := \dfrac{1}{2}.
  • Pela definição, existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\dfrac{1}{2}.
  • Mas a sequência alterna entre 1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar). Assim existem índices n_1\ge N com a_{n_1}=1 e n_2\ge N com a_{n_2}=-1 (basta escolher n_1 e n_2 grandes e de paridade apropriada).
  • Então |1-L|<\dfrac{1}{2} e |-1-L|<\dfrac{1}{2}. Pela desigualdade triangular, isso implicaria |1-(-1)| \le |1-L| + |L-(-1)| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1,mas |1-(-1)| = 2, logo 2<1, contradição.
  • Portanto a_n não converge.
Conclusão: existe sequência limitada que não converge; a recíproca é, em geral, falsa.

Passo 7

Resumo final e posição motivadora (um empurrãozinho para a prova):
  • A unicidade do limite vem direto da definição: não é possível estar a duas distâncias positivas diferentes de todos os termos a partir de um mesmo índice.
  • A sequência convergente é limitada porque, escolhendo uma margem (por exemplo \varepsilon=1), controla-se a cauda da sequência e os primeiros termos são finitos em número.
  • Mas ser limitada não garante convergência: a oscilação persistente (como em a_n=(-1)^n) impede que os termos se aproximem de um único número, apesar de todos estarem dentro de um intervalo fixo.
Força aí — esse tipo de argumento aparece muito em prova e é rápido de escrever quando praticado uma vez.

Resposta

(a) Se a_n\to L e a_n\to M então L=M; portanto uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
(b) Se a_n\to L então (a_n) é limitada. Recíproca falsa: por exemplo a_n = (-1)^n é limitada mas não converge.

Exercícios relacionados