(1,0 ponto)
(a) Demonstre o Teorema do Confronto: Sejam
e
sequências reais tais que
, para todo
, para algum
. Se
(b) Use o Teorema do Confronto (item (a)) para demonstrar que
.
(a) Demonstre o Teorema do Confronto: Sejam
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados:
- Três sequências reais
. - Existe
tal que, para todo , -
e .
- Três sequências reais
-
Perguntas:
(a) Demonstrar que.
(b) Usar o resultado do item (a) para demonstrar que.
Passo 2
Antes de provar, lembro a definição precisa de limite de sequência (vai ser a ferramenta que usamos): dizer que
significa que
Vou aplicar essa definição às sequências
e
, que convergem para
.
Passo 3
Aplicando a definição a
: como
, então
Aplicando a definição a
: como
, então
Passo 4
Escolho um
arbitrário (o argumento deve funcionar para todo
). Com esse
peguei
e
conforme o passo anterior. Defino
Então, para todo
valem simultaneamente:
- a desigualdade de encadeamento
(porque ); - as duas desigualdades
e (porque e ).
Passo 5
A partir de
e
obtemos
para todo
. Da cadeia acima segue imediatamente que
Como
era arbitrário e encontramos um
(dependendo de
) com essa propriedade, pela definição de limite concluímos que
Isso prova o Teorema do Confronto (item (a)) formalmente.
Passo 6
Agora o item (b). Quero demonstrar que
. Vou usar o Teorema do Confronto do item (a).
Observe para todo
que
Logo consigo encadear
,
e
com
para todo
.
Passo 7
Para aplicar o Teorema do Confronto preciso saber os limites de
e
.
- Para
é óbvio que (sequência constante). - Vou mostrar rapidamente que
usando a definição - : dado , escolha tal que (por exemplo ). Para todo temos ou seja . Assim .
Passo 8
Agora aplico o Teorema do Confronto ao encadeamento
. Como ambos os extremos convergem para
, pelo item (a) segue que
Resposta
(a)
(b)
(b)