(1,0 ponto)
(a) Demonstre o Teorema do Confronto: Sejam \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) e \left(c_{n}\right) sequências reais tais que a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}, para todo n \geq n_{0}, para algum n_{0} \in \mathbb{N}. Se
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=L, \text { então } \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=Lã
(b) Use o Teorema do Confronto (item (a)) para demonstrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados:
    • Três sequências reais \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right).
    • Existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge n_{0}, a_{n}\le b_{n}\le c_{n}.
    • \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L e \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_{n}=L.
  • Perguntas:
    (a) Demonstrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}=L.
    (b) Usar o resultado do item (a) para demonstrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.

Passo 2

Antes de provar, lembro a definição precisa de limite de sequência (vai ser a ferramenta que usamos): dizer que \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = L significa que
\forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{ tal que }\\ n\ge N \Rightarrow |x_n-L|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição às sequências a_n e c_n, que convergem para L.

Passo 3

Aplicando a definição a \left(a_n\right): como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L, então
\forall \varepsilon>0\\ \exists N_1\in\mathbb{N}\\ \text{ tal que }\\ n\ge N_1 \Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.
Aplicando a definição a \left(c_n\right): como \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L, então
\forall \varepsilon>0\\ \exists N_2\in\mathbb{N}\\ \text{ tal que }\\ n\ge N_2 \Rightarrow |c_n-L|<\varepsilon.

Passo 4

Escolho um \varepsilon>0 arbitrário (o argumento deve funcionar para todo \varepsilon>0). Com esse \varepsilon peguei N_1 e N_2 conforme o passo anterior. Defino
N=\max\{n_{0},\,N_1,\,N_2\}.
Então, para todo n\ge N valem simultaneamente:
  • a desigualdade de encadeamento a_n\le b_n\le c_n (porque n\ge n_{0});
  • as duas desigualdades |a_n-L|<\varepsilon e |c_n-L|<\varepsilon (porque n\ge N_1 e n\ge N_2).

Passo 5

A partir de |a_n-L|<\varepsilon e |c_n-L|<\varepsilon obtemos
-\varepsilon < a_n-L \le b_n-L \le c_n-L < \varepsilon,
para todo n\ge N. Da cadeia acima segue imediatamente que
|b_n-L|<\varepsilon \quad\text{para todo } n\ge N.
Como \varepsilon>0 era arbitrário e encontramos um N (dependendo de \varepsilon) com essa propriedade, pela definição de limite concluímos que
\lim_{n\to\infty} b_n = L.
Isso prova o Teorema do Confronto (item (a)) formalmente.

Passo 6

Agora o item (b). Quero demonstrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0. Vou usar o Teorema do Confronto do item (a).
Observe para todo n\ge 1 que
0 \le \frac{1}{n^{2}} \le \frac{1}{n}.
Logo consigo encadear \displaystyle a_n=0, \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{2}} e \displaystyle c_n=\frac{1}{n} com a_n\le b_n\le c_n para todo n\ge 1.

Passo 7

Para aplicar o Teorema do Confronto preciso saber os limites de a_n e c_n.
  • Para a_n=0 é óbvio que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0 (sequência constante).
  • Vou mostrar rapidamente que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 usando a definição \varepsilon- N: dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N temos 0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon,ou seja |\tfrac{1}{n}-0|<\varepsilon. Assim \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 8

Agora aplico o Teorema do Confronto ao encadeamento 0\le \dfrac{1}{n^{2}}\le \dfrac{1}{n}. Como ambos os extremos convergem para 0, pelo item (a) segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}=L
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}}=0

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