Em cada problema abaixo achar o determinante Wronskiano do par de funções dadas.
e^t sen t, e^t cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o determinante Wronskiano de duas funções que são e^t sin t e e^t cos t. Esse determinante é usado para verificar se as funções são linearmente independentes, e para isso vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções f(t) e g(t), o Wronskiano é dado por:
W(f, g) = f(t) & g(t) f'(t) & g'(t)
Ou seja, é o determinante de uma matriz onde a primeira linha são as funções e a segunda linha são suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das funções que temos:
  1. Para f(t) = e^t sin t, usando a regra do produto:
f'(t) = e^t sin t + e^t cos t = e^t (sin t + cos t)
  1. Para g(t) = e^t cos t, também aplicando a regra do produto:
g'(t) = e^t cos t - e^t sin t = e^t (cos t - sin t)

Passo 4

Com as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
W(f, g) = e^t sin t & e^t cos t e^t (sin t + cos t) & e^t (cos t - sin t)

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para uma matriz 2x2, o determinante é:
a & b c & d = ad - bc
Aplicando isso:
W(f, g) = e^t sin t cdot e^t (cos t - sin t) - e^t cos t cdot e^t (sin t + cos t)
Simplificando:
W(f, g) = e^2t sin t (cos t - sin t) - e^2t cos t (sin t + cos t)
Distribuindo os termos:
W(f, g) = e^2t (sin t cos t - sin^2 t) - e^2t (cos t sin t + cos^2 t)
Agrupando os termos semelhantes:
W(f, g) = e^2t (-sin^2 t - cos^2 t)
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
W(f, g) = -e^2t (1) = -e^2t

Resposta

O determinante Wronskiano das funções dadas é W = -e^2t.

Exercícios relacionados