Em cada problema abaixo achar o determinante Wronskiano do par de funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o determinante Wronskiano de duas funções que são e . Esse determinante é usado para verificar se as funções são linearmente independentes, e para isso vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Ou seja, é o determinante de uma matriz onde a primeira linha são as funções e a segunda linha são suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas das funções que temos:
Para f(t) = e^t sin t, usando a regra do produto:
f'(t) = e^t sin t + e^t cos t = e^t (sin t + cos t)
Para g(t) = e^t cos t, também aplicando a regra do produto:
g'(t) = e^t cos t - e^t sin t = e^t (cos t - sin t)
Passo 4
Com as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
W(f, g) = e^t sin t & e^t cos t e^t (sin t + cos t) & e^t (cos t - sin t)
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para uma matriz 2x2, o determinante é:
a & b c & d = ad - bc
Aplicando isso:
W(f, g) = e^t sin t cdot e^t (cos t - sin t) - e^t cos t cdot e^t (sin t + cos t)
Simplificando:
W(f, g) = e^2t sin t (cos t - sin t) - e^2t cos t (sin t + cos t)
Distribuindo os termos:
W(f, g) = e^2t (sin t cos t - sin^2 t) - e^2t (cos t sin t + cos^2 t)
Agrupando os termos semelhantes:
W(f, g) = e^2t (-sin^2 t - cos^2 t)
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
W(f, g) = -e^2t (1) = -e^2t
Resposta
O determinante Wronskiano das funções dadas é W = -e^2t.