2 Ptos. Teorema de Green
Enúncie o teorema de Green e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai falar sobre o Teorema de Green, que é uma ferramenta massa do cálculo vetorial. Esse teorema conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando o cálculo em muitas situações. Para resolver esse exercício, vamos enunciar o Teorema de Green e depois mostrar como usar ele para calcular uma integral de linha específica.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Green? Ele basicamente diz que se você tem um campo vetorial F = (P, Q) definido em uma região fechada do plano, a integral de linha de F ao redor dessa região pode ser transformada em uma integral dupla sobre a área dessa região. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, C é o contorno fechado da região D. Isso é super útil porque, às vezes, é mais fácil calcular a integral dupla do que a integral de linha.

Passo 3

Vamos ilustrar isso com um exemplo. Digamos que temos o campo vetorial F = (-y, x) e queremos calcular a integral de linha ao redor do contorno do círculo C com raio 1, centrado na origem.
Primeiro, identificamos P = -y e Q = x. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha fica:
ointC (-y),dx + x,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Substituindo na integral dupla:
integral duplaD (1 - (-1)),dx,dy = integral duplaD 2,dx,dy = 2 cdot Área de D Á
Como D é o círculo de raio 1, a área é pi cdot 1^2 = pi. Portanto:
2 cdot pi = 2pi

Resposta

A integral de linha ointC (-y),dx + x,dy ao redor do círculo de raio 1 é igual a 2pi.

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