2 Ptos. Teorema de Green
Enúncie o teorema de Green e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai falar sobre o Teorema de Green, que é uma ferramenta massa do cálculo vetorial. Esse teorema conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando o cálculo em muitas situações. Para resolver esse exercício, vamos enunciar o Teorema de Green e depois mostrar como usar ele para calcular uma integral de linha específica.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Green? Ele basicamente diz que se você tem um campo vetorial
definido em uma região fechada do plano, a integral de linha de
ao redor dessa região pode ser transformada em uma integral dupla sobre a área dessa região. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
é o contorno fechado da região
. Isso é super útil porque, às vezes, é mais fácil calcular a integral dupla do que a integral de linha.
Passo 3
Vamos ilustrar isso com um exemplo. Digamos que temos o campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha ao redor do contorno do círculo
com raio 1, centrado na origem.
Primeiro, identificamos
e
. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha fica:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na integral dupla:
Como
é o círculo de raio 1, a área é
. Portanto:
Resposta
A integral de linha
ao redor do círculo de raio 1 é igual a
.