Prove que
f(x,y)= (2^x-1)sin yx & se x neq 0 ln 2 & se x=0
é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac(2^x-1),sin yx,&xneq0, ln 2,&x=0
e pede para verificar a continuidade em (0,0).
Para isto, vamos calcular
L=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e comparar com f(0,0)=ln2. Se L=ln2, é contínua; caso contrário, não é.

Passo 2

Calculemos o valor absoluto de f(x,y) quando xneq0:
l|f(x,y)r| =|2^x-1x|;l|sin yr|
Sabemos que
limxto02^x-1x=ln2,
logo, para (x,y) suficientemente próximos de (0,0), existe uma constante M>0 tal que
|2^x-1x|<= M
Além disso, l|sin yr|<=|y|. Portanto
l|f(x,y)r|<= M,|y|

Passo 3

Como lim(x,y)to(0,0)M,|y|=0, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem) segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Por definição f(0,0)=ln2, mas o limite que encontramos é 0. Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0neq ln2=f(0,0),
a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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