Prove que
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar a continuidade em
(0,0) .
Para isto, vamos calcular
Para isto, vamos calcular
e comparar com
f(0,0)=ln2 . Se
L=ln2 , é contínua; caso contrário, não é.
Passo 2
Calculemos o valor absoluto de
f(x,y) quando
xneq0 :
Sabemos que
logo, para
(x,y) suficientemente próximos de
(0,0) , existe uma constante
M>0 tal que
Além disso,
l|sin yr|<=|y| . Portanto
Passo 3
Como
lim(x,y)to(0,0)M,|y|=0 , pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem) segue que
Passo 4
Por definição
f(0,0)=ln2 , mas o limite que encontramos é
0 . Como
a função não é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função não é contínua em
(0,0) .