Considere a série de potências
sumn=0^infty (-1)^n(5 x-5)^nn 5^n
Qual o centro a da série?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências assim:
sumn=0^infty (-1)^n(5x - 5)^nn cdot 5^n
O que a questão está pedindo é para encontrar o centro dessa série, que a gente costuma chamar de a . Para isso, vamos precisar entender como identificar o centro em uma série de potências e aplicar isso na série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como é a forma geral de uma série de potências. Ela geralmente é escrita assim:
sumn=0^infty cn (x - a)^n
Aqui, a é o centro da série. Nosso objetivo é reescrever a série que a gente tem nesse formato para identificar a .

Passo 3

Vamos dar uma olhada no termo (5x - 5)^n da nossa série. A gente pode fatorar o 5 desse jeito:
5x - 5 = 5(x - 1)
Então, substituindo de volta na série:
sumn=0^infty (-1)^n [5(x - 1)]^nn cdot 5^n

Passo 4

Agora, vamos simplificar esse termo. Como temos [5(x - 1)]^n dividido por 5^n, o 5^n vai se cancelar:
[5(x - 1)]^n5^n = (x - 1)^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty (-1)^n (x - 1)^nn

Passo 5

Comparando isso com a forma geral da série de potências:
sumn=0^infty cn (x - a)^n
Podemos ver que o termo (x - 1)^n corresponde a (x - a)^n, o que nos mostra que a = 1 .

Resposta

O centro a da série é 1 .

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