Considere a série de potências
sumn=0^infty (-1)^n(5 x-5)^nn 5^n
Qual o raio de convergência?

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
sumn=0^infty(-1)^n(5x-5)^nn,5^n.
O conteúdo é séries de potências e usaremos a fórmula
R=1limsupntoinftyraiz[n]|cn|
para uma série da forma sum cn(x-x0)^n.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para evidenciar (x-1)^n:
(-1)^n(5x-5)^nn,5^n =(-1)^n,5^n(x-1)^nn,5^n =(-1)^nn,(x-1)^n

Passo 3

Assim a série fica
sumn=1^inftycn,(x-1)^n com cn=(-1)^nn,
e está centrada em x0=1.

Passo 4

Calculamos
limsupntoinftyraiz[n]|cn| =limntoinftyraiz[n]1n =1

Passo 5

Pelo teorema do raio de convergência,
R=11=1

Resposta

O raio de convergência é 1.

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