Em cada problema abaixo determinante
sem resolver a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o determinante de Wronskian, que é
, da equação diferencial dada sem resolver a equação em si. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de Wronskian. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o Wronskian para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, o Wronskian
de duas soluções
e
dessa equação satisfaz uma relação diferencial específica. A fórmula para o Wronskian é dada por:
Onde
é a derivada do Wronskian em relação a
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na fórmula:
Isso simplifica para:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar o Wronskian. É uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o método dos fatores integrantes.
A solução geral dessa equação é:
Onde
é uma constante.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Portanto,
Como estamos lidando com funções contínuas, podemos simplificar para
.
Passo 7
Então, o Wronskian fica:
Onde
é uma constante que depende das soluções específicas
e
, mas como não temos essas soluções, deixamos a constante como
.
Resposta
O Wronskian é dado por
, onde
é uma constante.