Em cada problema abaixo determinante W[y1, y2](x) sem resolver a equação.
(cos x) y^prime prime+(sen x) y^prime-x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o determinante de Wronskian, que é W[y1, y2](x), da equação diferencial dada sem resolver a equação em si. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de Wronskian. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o Wronskian para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
No nosso caso, a equação é:
(cos x) y'' + (sin x) y' - x y = 0
Aqui, identificamos que:
  • P(x) = cos x
  • Q(x) = sin x
  • R(x) = -x

Passo 3

Agora, o Wronskian W[y1, y2](x) de duas soluções y1 e y2 dessa equação satisfaz uma relação diferencial específica. A fórmula para o Wronskian é dada por:
W'(x) = -Q(x)P(x) W(x)
Onde W'(x) é a derivada do Wronskian em relação a x.

Passo 4

Vamos substituir P(x) e Q(x) na fórmula:
W'(x) = -sin xcos x W(x)
Isso simplifica para:
W'(x) = -tan x cdot W(x)

Passo 5

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar o Wronskian. É uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o método dos fatores integrantes.
A solução geral dessa equação é:
W(x) = C cdot e^-integral tan x , dx
Onde C é uma constante.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C
Portanto,
e^-integral tan x , dx = e^ln|cos x| = |cos x|
Como estamos lidando com funções contínuas, podemos simplificar para cos x.

Passo 7

Então, o Wronskian fica:
W(x) = C cdot cos x
Onde C é uma constante que depende das soluções específicas y1 e y2, mas como não temos essas soluções, deixamos a constante como C.

Resposta

O Wronskian é dado por W[y1, y2](x) = C cdot cos x, onde C é uma constante.

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