O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva y= raiz[3]x, o eixo OX e as retas x=-1 e x=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos a região delimitada pela curva y = raiz[3]x , o eixo OX e as retas verticais x = -1 e x = 8 em torno do eixo OX . Para isso, vamos usar o método dos discos, que utiliza integração para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo OX . Quando fazemos isso, cada pequeno pedaço da curva vira um disco (um círculo bem fininho). O volume total será a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que define a curva, e a e b são os limites de integração, que no nosso caso são x = -1 e x = 8 .

Passo 3

Vamos colocar nossa função na fórmula. A função dada é y = raiz[3]x , que também pode ser escrita como y = x^1/3 . Elevando ao quadrado:
[y(x)]^2 = ( x^1/3 )^2 = x^2/3
Então, o volume fica:
V = pi integral-1^8 x^2/3 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de x^2/3 é:
integral x^2/3 , dx = 35 x^5/3 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar entre os limites.

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração de -1 a 8 :
V = pi [ 35 x^5/3 ]-1^8 = pi ( 35 cdot 8^5/3 - 35 cdot (-1)^5/3 )
Calculando cada termo:
8^1/3 = 2 Rightarrow 8^5/3 = 2^5 = 32
(-1)^1/3 = -1 Rightarrow (-1)^5/3 = -1
Substituindo de volta:
V = pi ( 35 cdot 32 - 35 cdot (-1) ) = pi ( 965 + 35 ) = pi cdot 995

Resposta

O volume do sólido de revolução é dfrac99pi5 unidades cúbicas.

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