O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva
, o eixo OX e as retas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos a região delimitada pela curva
, o eixo
e as retas verticais
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que utiliza integração para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo
. Quando fazemos isso, cada pequeno pedaço da curva vira um disco (um círculo bem fininho). O volume total será a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a função que define a curva, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são
e
.
Passo 3
Vamos colocar nossa função na fórmula. A função dada é
, que também pode ser escrita como
. Elevando ao quadrado:
Então, o volume fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar entre os limites.
Passo 5
Vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.